Exercice : Racines n-ièmes de l'unité et applications

Étape 1

Pour exprimer la distance $A_0 A_1 = |z_1 - z_0|$, calculons la différence $z_1 - z_0$ : $$z_1 - z_0 = e^{i \frac{2\pi}{n}} - 1$$ En factorisant par l'angle moitié $e^{i \frac{\pi}{n}}$, nous obtenons : $$z_1 - z_0 = e^{i \frac{\pi}{n}} \left( e^{i \frac{\pi}{n}} - e^{-i \frac{\pi}{n}} \right)$$

Étape 2

D'après les formules d'Euler, $e^{i \frac{\pi}{n}} - e^{-i \frac{\pi}{n}} = 2i \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$. On en déduit l'expression : $$z_1 - z_0 = 2i e^{i \frac{\pi}{n}} \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$$

Étape 3

En passant au module, on obtient la distance $A_0 A_1$ : $$A_0 A_1 = |z_1 - z_0| = |2i| \cdot \left|e^{i \frac{\pi}{n}}\right| \cdot \left|\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right|$$ Comme $n \ge 3$, l'angle $\frac{\pi}{n}$ appartient à l'intervalle $\left]0, \frac{\pi}{3}\right]$, d'où $\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) > 0$. Comme de plus $|2i| = 2$ et $\left|e^{i \frac{\pi}{n}}\right| = 1$, la distance s'écrit : $$A_0 A_1 = 2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$$

Étape 4

On sait que $A_0 A_1 = \sqrt{2}$. On résout donc l'équation : $$2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \sqrt{2}$$ Ce qui équivaut à : $$\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Étape 5

Puisque $\frac{\pi}{n} \in \left]0, \frac{\pi}{3}\right]$, l'unique solution est : $$\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{4}$$ On en déduit que $n = 4$.