Exercice : Racines n-ièmes de l'unité et applications

Étape 1

Pour déterminer les composantes du vecteur $\mathbf{X} = \begin{pmatrix} X_0 \\ X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{pmatrix}$, on effectue le produit matriciel $\mathbf{X} = F_4 \mathbf{x}$ :

Étape 2

$$\begin{pmatrix} X_0 \\ X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & i & -1 & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k \\ 3 \\ 1 \\ k \end{pmatrix}$$

Étape 3

On calcule explicitement les deux premières composantes :

Étape 4

$$X_0 = 1 \cdot k + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot k = 2k + 4$$

Étape 5

$$X_1 = 1 \cdot k + (-i) \cdot 3 + (-1) \cdot 1 + i \cdot k = (k - 1) + i(k - 3)$$

Étape 6

Dans le plan complexe, la distance $AB$ entre les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $X_0$ et $X_1$ est égale au module $|X_1 - X_0|$. On exprime la différence $X_1 - X_0$ sous forme algébrique :

Étape 7

$$X_1 - X_0 = (k - 1) + i(k - 3) - (2k + 4) = (-k - 5) + i(k - 3)$$

Étape 8

La condition $AB = 8$ équivaut à $AB^2 = 64$. En utilisant la formule du module au carré $|a + ib|^2 = a^2 + b^2$ pour des réels $a$ et $b$, on obtient :

Étape 9

$$AB^2 = (-k - 5)^2 + (k - 3)^2 = (k + 5)^2 + (k - 3)^2$$

Étape 10

En développant cette expression :

Étape 11

$$AB^2 = (k^2 + 10k + 25) + (k^2 - 6k + 9) = 2k^2 + 4k + 34$$

Étape 12

L'égalité $AB^2 = 64$ se traduit donc par l'équation du second degré :

Étape 13

$$2k^2 + 4k + 34 = 64$$

Étape 14

Ce qui équivaut à :

Étape 15

$$2k^2 + 4k - 30 = 0 \quad \text{soit} \quad k^2 + 2k - 15 = 0$$

Étape 16

Le discriminant de ce polynôme est $\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.

Étape 17

Les solutions réelles de cette équation sont :

Étape 18

$$k_1 = \frac{-2 - 8}{2} = -5 \quad \text{et} \quad k_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3$$

Étape 19

Comme le réel $k$ est strictement positif d'après l'énoncé, la seule valeur retenue est $k = 3$.