Exercice : Racines n-ièmes de l'unité et applications

Étape 1

On calcule les composantes du vecteur $X_{\text{out}} = M X_{\text{in}}$ par le produit matriciel :

Étape 2

$$X_0 = 1 \cdot k + 1 \cdot (k-2) + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 1 = 2k + 2$$

Étape 3

$$X_1 = 1 \cdot k - i \cdot (k-2) - 1 \cdot 3 + i \cdot 1 = (k-3) + i(3-k)$$

Étape 4

$$X_2 = 1 \cdot k - 1 \cdot (k-2) + 1 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 4$$

Étape 5

$$X_3 = 1 \cdot k + i \cdot (k-2) - 1 \cdot 3 - i \cdot 1 = (k-3) + i(k-3)$$

Étape 6

On analyse la géométrie des quatre points $A_0, A_1, A_2, A_3$ dans le plan complexe :

Étape 7

Les points $A_0$ et $A_2$ ont pour affixes les nombres réels $X_0 = 2k+2$ et $X_2 = 4$. Le segment $[A_0 A_2]$ repose sur l'axe des réels et sa longueur vaut $A_0 A_2 = |(2k+2) - 4| = 2k - 2$ car $k > 3$.

Étape 8

Les points $A_1$ et $A_3$ ont pour partie réelle commune $k-3$. Le segment $[A_1 A_3]$ est parallèle à l'axe des imaginaires et sa longueur vaut $A_1 A_3 = |X_3 - X_1| = |2i(k-3)| = 2(k-3)$ car $k > 3$.

Étape 9

Les diagonales $[A_0 A_2]$ et $[A_1 A_3]$ sont perpendiculaires. L'aire $\mathcal{A}$ du quadrilatère est donc donnée par :

Étape 10

$$\mathcal{A} = \frac{1}{2} \times A_0 A_2 \times A_1 A_3 = \frac{1}{2} \times (2k-2) \times 2(k-3) = 2(k-1)(k-3)$$

Étape 11

L'énoncé indique que cette aire vaut $96$, ce qui donne la relation :

Étape 12

$$2(k-1)(k-3) = 96$$

Étape 13

En divisant par $2$ puis en développant, on obtient $k^2 - 4k + 3 = 48$, ce qui équivaut à :

Étape 14

$$k^2 - 4k - 45 = 0$$

Étape 15

Le discriminant de cette équation du second degré est $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times (-45) = 16 + 180 = 196 = 14^2$.

Étape 16

Les solutions réelles sont $k_1 = \frac{4 - 14}{2} = -5$ et $k_2 = \frac{4 + 14}{2} = 9$.

Étape 17

Comme le problème impose $k > 3$, la valeur retenue est $k = 9$.