Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers
L'essentiel du cours (3 notions)
Primalité et crible d'Ératosthène
Propriété : Un entier $n \ge 2$ est premier si et seulement s'il n'a aucun diviseur premier $p \le \sqrt{n}$. Si $n$ est composé, son plus petit diviseur $d > 1$ est premier et $d \le \sqrt{n}$.
Méthode : Test de primalité de $n$ : 1. Lister les premiers $p \le \sqrt{n}$. 2. Tester la divisibilité de $n$ par chaque $p$. Crible d'Ératosthène : éliminer les multiples des premiers trouvés pour lister les premiers jusqu'à $N$.
Décomposition en facteurs premiers
Propriété : Tout entier $n \ge 2$ se décompose de manière unique (à l'ordre près) en produit $n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$ de facteurs premiers distincts, avec $\alpha_i \in \mathbb{N}^*$.
Méthode : Le $\text{PGCD}$ (resp. $\text{PPCM}$) de deux entiers s'obtient en multipliant leurs facteurs premiers communs (resp. tous) avec leur plus petit (resp. grand) exposant.
Exemple : Pour $12 = 2^2 \times 3$ et $18 = 2 \times 3^2$ : $\text{PGCD}(12,18) = 2^1 \times 3^1 = 6$ $\text{PPCM}(12,18) = 2^2 \times 3^2 = 36$
Nombres de Mersenne et Fermat
Propriété : Pour $M_p = 2^p - 1$, si $M_p$ est premier, alors $p$ est premier (condition nécessaire). Pour $F_n = 2^{2^n} + 1$, $F_0, \dots, F_4$ sont premiers, mais $F_5$ est composé.
Exemple : $M_3 = 2^3 - 1 = 7$ est premier ($p=3$ est premier). $F_1 = 2^{2^1} + 1 = 5$ est un nombre de Fermat premier.
Pour déterminer la primalité d'un entier naturel $N$, la méthode usuelle consiste à tester sa divisibilité par tous les nombres premiers $p$ tels que $p \le \sqrt{N}$.
Dans un cas d'étude, le plus grand nombre premier qu'il a été nécessaire de tester est $13$.
Saisir la plus grande valeur entière possible pour $N$.
Soit $n$ un entier naturel de la forme $n = 2^3 \times 3^k \times 7$, où $k$ est un entier naturel.
On sait que $n$ possède exactement $32$ diviseurs positifs.
En exprimant le nombre de diviseurs positifs de $n$ en fonction de $k$, déterminer la valeur de l'entier $k$.
Saisir la valeur de $k$.
On considère l'entier naturel $n = 1\,080$.
En utilisant la décomposition de $n$ en produit de facteurs premiers, déterminer le nombre de diviseurs positifs de $n$.
Saisir le nombre de diviseurs positifs de $1\,080$.
On considère un entier naturel $n$ dont la décomposition en facteurs premiers est de la forme $n = 3^a \times 5^b$, où $a$ et $b$ sont deux entiers naturels non nuls.
On sait que le nombre de diviseurs positifs de $15n$ est égal à $24$, et que le nombre de diviseurs positifs de $45n$ est égal à $30$.
Saisir la valeur de l'entier $n$.
Pour vérifier si un entier naturel $N$ admet un diviseur premier strictement inférieur à lui-même, on teste la divisibilité par tous les nombres premiers successifs. Pour un certain entier $N$, le plus grand nombre premier qu'il est nécessaire de tester est $17$.
De plus, on sait que l'entier $N$ s'écrit sous la forme $N = 19k + 5$, où $k$ est un entier naturel.
Quelle est la plus grande valeur possible de $N$ ?
Saisir la valeur de $N$.
On considère l'affirmation suivante portant sur les entiers naturels non nuls $a$ et $b$ :
« Si $a^2$ divise $b^3$, alors $a$ divise $b$. »
Cette affirmation est fausse. Il existe des entiers $a \ge 2$ et $b \ge 1$ tels que $a^2$ divise $b^3$ sans que $a$ ne divise $b$.
Déterminer la plus petite valeur possible pour l'entier $a$ fournissant un tel contre-exemple.
Saisir la plus petite valeur de l'entier $a$.