Étape 1
Un entier naturel $N \ge 2$ ne possède pas de diviseur propre si et seulement s'il ne possède aucun diviseur premier inférieur ou égal à $\sqrt{N}$.
Étape 2
Le plus grand nombre premier nécessaire pour tester la divisibilité de $N$ étant $17$, la valeur de $\sqrt{N}$ doit être supérieure ou égale à $17$, mais strictement inférieure au nombre premier suivant. Le premier qui suit immédiatement $17$ est $19$. On en déduit l'encadrement : $$17 \le \sqrt{N} < 19$$
Étape 3
En élevant au carré, toutes les quantités étant positives, on obtient : $$17^2 \le N < 19^2$$ soit $$289 \le N < 361$$ Comme $N$ est un entier naturel, cela signifie que $289 \le N \le 360$.
Étape 4
On cherche la plus grande valeur de $N$ dans cet intervalle vérifiant la condition $N = 19k + 5$ pour un entier naturel $k$. Encadrons $k$ : $$289 \le 19k + 5 \le 360$$ $$284 \le 19k \le 355$$ $$\frac{284}{19} \le k \le \frac{355}{19}$$
Étape 5
Or $284 = 19 \times 14 + 18$, donc $\frac{284}{19} \approx 14{,}95$. De même, $355 = 19 \times 18 + 13$, donc $\frac{355}{19} \approx 18{,}68$. Les valeurs entières possibles pour $k$ sont donc $15, 16, 17, 18$.
Étape 6
La plus grande valeur entière pour $k$ est $18$. On calcule la valeur maximale correspondante pour $N$ : $$N = 19 \times 18 + 5 = 342 + 5 = 347$$ La plus grande valeur possible pour $N$ est $347$.
Méthode clé
Un entier $N$ est premier si et seulement s'il n'admet aucun diviseur premier inférieur ou égal à $\sqrt{N}$. Si $p$ est le plus grand premier à tester, alors $p \le \sqrt{N} < q$, où $q$ est le nombre premier succédant immédiatement à $p$.
Piège à éviter
Oublier d'identifier le nombre premier suivant 17 (qui est 19) et confondre la borne supérieure de $\sqrt{N}$ avec $18$ ou $17+1$.
