Étape 1
D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, tout entier supérieur ou égal à 2 admet une décomposition en produit de facteurs premiers unique à l'ordre près des facteurs.
Étape 2
Soient $a \ge 2$ et $b \ge 1$ deux entiers tels que $a^2$ divise $b^3$ et $a$ ne divise pas $b$. Pour chaque diviseur premier $p$ de $a$, notons $\alpha$ son exposant dans la décomposition de $a$ (avec $\alpha \ge 1$) et $\beta$ son exposant dans celle de $b$ (avec $\beta \ge 0$).
Étape 3
Dans la décomposition en facteurs premiers de $a^2$, l'exposant de $p$ est $2\alpha$. Dans celle de $b^3$, l'exposant de $p$ est $3\beta$.
Étape 4
La condition « $a^2$ divise $b^3$ » impose que pour tout facteur premier de $a$ : $$2\alpha \le 3\beta$$
Étape 5
La condition « $a$ ne divise pas $b$ » signifie qu'il existe au moins un facteur premier $p$ de $a$ tel que : $$\alpha > \beta$$
Étape 6
Pour ce facteur premier particulier, on a donc la double inégalité : $$\beta < \alpha \le \frac{3}{2}\beta$$
Étape 7
Analysons les premières valeurs possibles pour l'entier naturel $\beta$ :
Étape 8
Si $\beta = 0$, l'inégalité devient $0 < \alpha \le 0$, ce qui est impossible.
Étape 9
Si $\beta = 1$, l'inégalité devient $1 < \alpha \le 1{,}5$, ce qui est impossible puisque $\alpha$ est un entier.
Étape 10
Si $\beta = 2$, l'inégalité devient $2 < \alpha \le 3$, ce qui impose $\alpha = 3$.
Étape 11
L'exposant d'un facteur premier responsable de la non-divisibilité est donc au minimum égal à $3$. Pour rendre l'entier $a$ minimal, on choisit le plus petit nombre premier $p = 2$ affecté de l'exposant minimal $\alpha = 3$, sans autre facteur premier : $$a = 2^3 = 8$$
Étape 12
En choisissant pour ce même facteur l'exposant $\beta = 2$, soit $b = 2^2 = 4$, on obtient : $$a^2 = 8^2 = 64 \quad \text{et} \quad b^3 = 4^3 = 64$$ Or, $64$ divise bien $64$, mais $8$ ne divise pas $4$. Le couple $(8, 4)$ est donc bien un contre-exemple.
Étape 13
La plus petite valeur possible pour l'entier $a$ est donc 8.
Méthode clé
Traduire les relations de divisibilité par des inégalités sur les exposants des facteurs premiers issus de la décomposition.
Piège à éviter
Penser qu'un nombre premier ou un carré sans facteur cubique peut convenir, ou oublier que l'exposant dans la décomposition doit être entier.
