Exercice : Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers

Étape 1

La décomposition en facteurs premiers de l'entier $n$ est donnée par $$n = 2^3 \times 3^k \times 7^1$$ où $2$, $3$ et $7$ sont des nombres premiers distincts.

Étape 2

Un entier naturel $d$ est un diviseur de $n$ si et seulement si sa décomposition en facteurs premiers est de la forme $$d = 2^a \times 3^b \times 7^c$$ avec $a \in \{0, 1, 2, 3\}$, $b \in \{0, 1, \dots, k\}$ et $c \in \{0, 1\}$.

Étape 3

Il y a $3 + 1 = 4$ choix possibles pour $a$, $k + 1$ choix possibles pour $b$, et $1 + 1 = 2$ choix possibles pour $c$.

Étape 4

Le nombre total de diviseurs positifs de $n$ est donc égal au produit du nombre de choix pour chaque exposant : $$4 \times (k + 1) \times 2 = 8(k + 1)$$

Étape 5

D'après l'énoncé, $n$ possède $32$ diviseurs positifs. On résout donc l'équation : $$8(k + 1) = 32$$

Étape 6

Ce qui équivaut à $k + 1 = 4$, d'où $k = 3$. La valeur de l'entier $k$ est $3$.