Exercice : Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers

Étape 1

Pour déterminer si un entier naturel $N$ est premier, il suffit de tester sa divisibilité par tous les nombres premiers $p$ vérifiant $p \le \sqrt{N}$.

Étape 2

La liste des premiers nombres premiers dans l'ordre croissant est : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, \dots$

Étape 3

Puisque $13$ est le plus grand nombre premier inférieur ou égal à $\sqrt{N}$, cela signifie que $\sqrt{N}$ est au moins égal à $13$, mais strictement inférieur au nombre premier suivant, c'est-à-dire $17$.

Étape 4

On obtient l'encadrement suivant : $$13 \le \sqrt{N} < 17$$

Étape 5

Les membres de cet encadrement étant tous positifs, la croissance de la fonction carré sur $[0 ; +\infty[$ permet d'élever chaque membre au carré : $$13^2 \le N < 17^2$$ $$169 \le N < 289$$

Étape 6

L'entier naturel $N$ appartient donc à l'ensemble des entiers vérifiant $169 \le N \le 288$. La plus grande valeur entière possible pour $N$ est $288$.