Étape 1
Exprimons d'abord les nombres $15n$ et $45n$ sous la forme de leur décomposition en facteurs premiers. Comme $n = 3^a \times 5^b$, on a :
Étape 2
$$15n = (3 \times 5) \times (3^a \times 5^b) = 3^{a+1} \times 5^{b+1}$$
Étape 3
$$45n = (3^2 \times 5) \times (3^a \times 5^b) = 3^{a+2} \times 5^{b+1}$$
Étape 4
Le nombre de diviseurs positifs d'un entier s'obtient en augmentant de $1$ chacun des exposants de sa décomposition en facteurs premiers, puis en multipliant ces résultats.
Étape 5
Pour $15n$, le nombre de diviseurs positifs est égal à $24$, ce qui traduit l'égalité :
Étape 6
$$(a + 2)(b + 2) = 24$$
Étape 7
Pour $45n$, le nombre de diviseurs positifs est égal à $30$, ce qui traduit l'égalité :
Étape 8
$$(a + 3)(b + 2) = 30$$
Étape 9
Soustrayons la première équation à la seconde. On obtient :
Étape 10
$$(a + 3)(b + 2) - (a + 2)(b + 2) = 30 - 24$$
Étape 11
En factorisant le membre de gauche par $(b + 2)$, cela donne :
Étape 12
$$((a + 3) - (a + 2))(b + 2) = 6 \implies 1 \times (b + 2) = 6 \implies b = 4$$
Étape 13
Remplaçons $b$ par $4$ dans la première équation :
Étape 14
$$(a + 2)(4 + 2) = 24 \implies 6(a + 2) = 24 \implies a + 2 = 4 \implies a = 2$$
Étape 15
On en déduit la valeur de l'entier $n$ :
Étape 16
$$n = 3^2 \times 5^4 = 9 \times 625 = 5625$$
Méthode clé
Si la décomposition en facteurs premiers d'un entier $N$ est $p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times \dots \times p_k^{\alpha_k}$, alors le nombre de ses diviseurs positifs est égal au produit $(\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1) \dots (\alpha_k + 1)$.
Piège à éviter
Oublier de décomposer les facteurs multiplicatifs $15$ et $45$ avant de regrouper les puissances de $3$ et $5$.
