Étape 1
On commence par déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de $1\,080$ :
Étape 2
$$1\,080 = 108 \times 10 = (4 \times 27) \times (2 \times 5) = 2^3 \times 3^3 \times 5^1$$
Étape 3
D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, tout diviseur positif $d$ de $1\,080$ admet une décomposition en facteurs premiers composée uniquement des facteurs $2$, $3$ et $5$. Il s'écrit donc de façon unique sous la forme :
Étape 4
$$d = 2^a \times 3^b \times 5^c$$
Étape 5
avec des exposants entiers vérifiant $0 \le a \le 3$, $0 \le b \le 3$ et $0 \le c \le 1$.
Étape 6
Le nombre de valeurs possibles pour $a$ est $3 + 1 = 4$, pour $b$ est $3 + 1 = 4$, et pour $c$ est $1 + 1 = 2$.
Étape 7
Par le principe multiplicatif, le nombre total de diviseurs positifs de $1\,080$ est donc :
Étape 8
$$4 \times 4 \times 2 = 32$$
Méthode clé
Si la décomposition en facteurs premiers d'un entier est $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$, le nombre de ses diviseurs positifs est $(\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1)\cdots(\alpha_k + 1)$.
Piège à éviter
Oublier que l'exposant d'un facteur premier peut être nul, ce qui fait $\alpha_i + 1$ choix d'exposants et non $\alpha_i$.
