Matiko Logo

6 ex.

Difficulté :
L'essentiel du cours (2 notions)

Matrice de transition et graphe probabiliste

Définition : Un graphe probabiliste modélise les états et transitions. Sa matrice $P$ contient en ligne $i$, colonne $j$, la probabilité $p_{i,j}$ de passer de l'état $i$ à $j$.

Propriété : Chaque coefficient $p_{i,j}$ appartient à $[0 ; 1]$ et la somme des coefficients de chaque ligne de $P$ vaut $1$.

Exemple : Un arc orienté de l'état 1 vers 2 pondéré par $0{,}2$ correspond au coefficient $p_{1,2} = 0{,}2$ dans $P$.

Distribution d'état après $n$ transitions

Propriété : Le coefficient $(i, j)$ de $P^n$ représente la probabilité de passer de l'état $i$ à l'état $j$ en $n$ étapes.

Formule : $\pi_n = \pi_0 P^n$

Méthode : 1. Calculer $P^n$ à la calculatrice. 2. Effectuer le produit matriciel $\pi_n = \pi_0 P^n$. 3. Lire les probabilités dans la matrice ligne $\pi_n$.

★ Standard

On considère une chaîne de Markov à trois états $A$, $B$ et $C$, représentée par le graphe probabiliste ci-dessous.

La matrice de transition $P$ associée à cette chaîne de Markov, dans l'ordre des états $(A, B, C)$, est donnée par :

$$P = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}1 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}5 & x \\ 0{,}4 & 0{,}4 & 0{,}2 \end{pmatrix}$$

Saisir la valeur du réel $x$.
★ Standard

Un système peut se trouver dans deux états distincts $A$ et $B$. L'évolution temporelle de ce système est modélisée par une chaîne de Markov dont la matrice de transition $P$ dans la base $(A, B)$ est donnée par :

$$P = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}$$

À l'instant $t = 0$, le système se trouve dans l'état $A$. Sa distribution initiale est représentée par la matrice ligne $\pi_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Déterminer la probabilité que le système soit dans l'état $A$ à l'instant $t = 2$.

Saisir la probabilité sous la forme d'un nombre décimal avec une virgule.
★★ Avancé

Un système évolue entre deux états $A$ et $B$. L'évolution de ce système est modélisée par une chaîne de Markov dont la matrice de transition est :

$$P = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \\ p & 1-p \end{pmatrix}$$

où $p$ est une constante réelle appartenant à l'intervalle $[0 \,;\, 1]$.

À l'état initial (étape $n = 0$), le système est dans l'état $A$. La distribution initiale est donc représentée par la matrice ligne $\pi_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Après deux transitions (étape $n = 2$), la probabilité que le système se trouve dans l'état $A$ est égale à $0{,}56$.

Déterminer la valeur du paramètre $p$.
★★ Avancé

Un système probabiliste évolue de manière séquentielle entre trois états $A$, $B$ et $C$. Les probabilités de passage d'un état à l'autre à chaque étape dépendent d'un paramètre réel $p \in \left]0\,; \frac{1}{3}\right[$ et sont représentées par le graphe orienté ci-dessous.

Sachant que le système se trouve initialement à l'état $A$, la probabilité qu'il atteigne l'état $C$ après exactement deux étapes est égale à $0{,}2$.

Déterminer la valeur numérique exacte du paramètre $p$.
★★ Avancé

On considère un processus modélisé par une chaîne de Markov à deux états notés $E_1$ et $E_2$.

La matrice de transition associée est :

$$P = \begin{pmatrix} 1-k & k \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$$

où $k$ est un réel fixé appartenant à l'intervalle $]0\,;\,1[$.

À l'instant initial, le système se trouve dans l'état $E_1$, ce qui correspond à la distribution initiale :

$$\pi_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Pour tout entier naturel $n$, on note $\pi_n = \begin{pmatrix} p_n & q_n \end{pmatrix}$ la distribution de probabilité après $n$ transitions.

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour laquelle la probabilité d'être dans l'état $E_1$ reste invariante entre la première et la deuxième transition, c'est-à-dire telle que $p_2 = p_1$.

Saisir la valeur de $k$.
★★ Avancé

Un système aléatoire à trois états notés $A$, $B$ et $C$ est modélisé par une chaîne de Markov dont le graphe probabiliste est donné ci-dessous, où $p$ désigne un nombre réel appartenant à l'intervalle $[0 ; 1]$.

À l'étape initiale $n = 0$, le système se trouve dans l'état $A$.

À l'étape $n = 2$, la probabilité que le système soit de nouveau dans l'état $A$ est égale à $0{,}56$.

Déterminer la valeur du paramètre $p$.