Étape 1
On ordonne les états dans l'ordre alphabétique $(A, B, C)$. La matrice de transition associée au graphe probabiliste, notée $P$, est formée par les probabilités de transition de l'état de la ligne vers l'état de la colonne : $$P = \begin{pmatrix} 0 & 0{,}6 & 0{,}4 \\ 0{,}5 & 0{,}5 & 0 \\ p & 1-p & 0 \end{pmatrix}$$
Étape 2
À l'étape initiale $n = 0$, le système est dans l'état $A$, d'où la distribution initiale : $$\pi_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Étape 3
On détermine la distribution probabiliste à l'étape $n = 1$ par la relation $\pi_1 = \pi_0 P$ : $$\pi_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0{,}6 & 0{,}4 \\ 0{,}5 & 0{,}5 & 0 \\ p & 1-p & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}$$
Étape 4
On calcule ensuite la première composante de la distribution à l'étape $n = 2$, notée $\pi_2 = \pi_1 P$, qui représente la probabilité d'être dans l'état $A$ : $$\pi_2(A) = 0 \times 0 + 0{,}6 \times 0{,}5 + 0{,}4 \times p = 0{,}3 + 0{,}4p$$
Étape 5
D'après les données de l'énoncé, cette probabilité vaut $0{,}56$. On résout l'équation d'inconnue $p$ : $$0{,}3 + 0{,}4p = 0{,}56$$ d'où $$0{,}4p = 0{,}26$$ soit $$p = \frac{0{,}26}{0{,}4} = 0{,}65$$
Méthode clé
Traduire les transitions du graphe sous forme matricielle et utiliser la relation de récurrence $\pi_{n+1} = \pi_n P$ pour relier les distributions successives.
Piège à éviter
Confondre l'ordre des indices ou inverser lignes et colonnes dans la matrice de transition (la somme des coefficients de chaque ligne doit être égale à 1).
