Exercice : Modélisation probabiliste et distributions d'états

Étape 1

Calculons la distribution des états à l'étape $n = 1$, notée $\pi_1$, en effectuant le produit matriciel $\pi_1 = \pi_0 P$ :

Étape 2

$$\pi_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \\ p & 1-p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 0{,}6 + 0 \times p & 1 \times 0{,}4 + 0 \times (1-p) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}$$

Étape 3

Calculons ensuite la distribution des états à l'étape $n = 2$, notée $\pi_2$, en multipliant la distribution $\pi_1$ par la matrice de transition $P$ :

Étape 4

$$\pi_2 = \pi_1 P = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \\ p & 1-p \end{pmatrix}$$

Étape 5

$$\pi_2 = \begin{pmatrix} 0{,}6 \times 0{,}6 + 0{,}4 \times p & 0{,}6 \times 0{,}4 + 0{,}4 \times (1-p) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}36 + 0{,}4p & 0{,}24 + 0{,}4(1-p) \end{pmatrix}$$

Étape 6

D'après l'énoncé, la probabilité que le système soit dans l'état $A$ au temps $n = 2$ est égale à $0{,}56$, ce qui correspond au premier coefficient de la matrice ligne $\pi_2$.

Étape 7

Nous obtenons l'équation :

Étape 8

$$0{,}36 + 0{,}4p = 0{,}56$$

Étape 9

Résolvons cette équation du premier degré :

Étape 10

$$0{,}4p = 0{,}56 - 0{,}36$$

Étape 11

$$0{,}4p = 0{,}20$$

Étape 12

$$p = \frac{0{,}20}{0{,}4} = 0{,}5$$

Étape 13

La valeur du paramètre $p$ est donc $0{,}5$.