Exercice : Modélisation probabiliste et distributions d'états

Étape 1

On calcule la distribution de probabilité à la première étape à l'aide de la relation $\pi_1 = \pi_0 P$ :

Étape 2

$$\pi_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1-k & k \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-k & k \end{pmatrix}$$

Étape 3

On en déduit que la probabilité d'être dans l'état $E_1$ après une transition est $p_1 = 1-k$.

Étape 4

On calcule ensuite la distribution après deux transitions via $\pi_2 = \pi_1 P$ :

Étape 5

$$\pi_2 = \begin{pmatrix} 1-k & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1-k & k \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$$

Étape 6

Le premier terme $p_2$ de la matrice ligne $\pi_2$ vaut donc :

Étape 7

$$p_2 = (1-k)(1-k) + k \times 0{,}4 = (1-k)^2 + 0{,}4k$$

Étape 8

En développant l'expression, on obtient $p_2 = 1 - 2k + k^2 + 0{,}4k = k^2 - 1{,}6k + 1$.

Étape 9

La condition d'invariance $p_2 = p_1$ se traduit alors par :

Étape 10

$$k^2 - 1{,}6k + 1 = 1 - k$$

Étape 11

ce qui équivaut successivement à :

Étape 12

$$k^2 - 0{,}6k = 0$$

Étape 13

$$k(k - 0{,}6) = 0$$

Étape 14

Les solutions de cette équation sont $k = 0$ et $k = 0{,}6$.

Étape 15

Comme le paramètre $k$ appartient par hypothèse à l'intervalle $]0\,;\,1[$, on exclut la solution $0$. L'unique valeur possible est donc $k = 0{,}6$.