Exercice : Modélisation probabiliste et distributions d'états

Étape 1

Traduisons le graphe de transition par sa matrice de transition $M(p)$ associée aux états ordonnés $(A, B, C)$ : $$M(p) = \begin{pmatrix} 1-2p & p & p \\ 0{,}4 & 0{,}6 & 0 \\ 0 & 3p & 1-3p \end{pmatrix}$$

Étape 2

Pour déterminer la probabilité d'être à l'état $C$ au bout de deux étapes en partant de l'état $A$, calculons le coefficient situé à la 1ʳᵉ ligne et 3ᵉ colonne de la matrice $M(p)^2$, noté $[M(p)^2]_{1,3}$ :

Étape 3

$$P(X_2 = C \mid X_0 = A) = [M(p)^2]_{1,3} = (1-2p) \times p + p \times 0 + p \times (1-3p) = 2p - 5p^2$$

Étape 4

D'après l'énoncé, cette probabilité est égale à $0{,}2$. On cherche donc $p \in \left]0\,; \frac{1}{3}\right[$ vérifiant l'équation : $$2p - 5p^2 = 0{,}2$$ ce qui équivaut à $$5p^2 - 2p + 0{,}2 = 0$$

Étape 5

En multipliant tous les termes par 5, l'équation s'écrit : $$25p^2 - 10p + 1 = 0$$ On reconnaît le carré parfait $(5p - 1)^2 = 0$, ce qui donne une unique solution : $$5p - 1 = 0 \quad \text{soit} \quad p = \frac{1}{5} = 0{,}2$$

Étape 6

La valeur $0{,}2$ appartient bien à l'intervalle de définition $\left]0\,; \frac{1}{3}\right[$. La valeur exacte du paramètre $p$ est donc $0{,}2$.