Exercice : Modélisation probabiliste et distributions d'états

Étape 1

D'après le cours, la distribution d'état à l'étape $n+1$ s'obtient à partir de la distribution à l'étape $n$ par la relation $\pi_{n+1} = \pi_n P$.

Étape 2

Calculons la distribution d'état $\pi_1$ à l'instant $t = 1$ :

Étape 3

$$\pi_1 = \pi_0 P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}$$

Étape 4

$$\pi_1 = \begin{pmatrix} 1 \times 0{,}7 + 0 \times 0{,}2 & 1 \times 0{,}3 + 0 \times 0{,}8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \end{pmatrix}$$

Étape 5

Calculons ensuite la distribution d'état $\pi_2$ à l'instant $t = 2$ :

Étape 6

$$\pi_2 = \pi_1 P = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}$$

Étape 7

$$\pi_2 = \begin{pmatrix} 0{,}7 \times 0{,}7 + 0{,}3 \times 0{,}2 & 0{,}7 \times 0{,}3 + 0{,}3 \times 0{,}8 \end{pmatrix}$$

Étape 8

$$\pi_2 = \begin{pmatrix} 0{,}49 + 0{,}06 & 0{,}21 + 0{,}24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}55 & 0{,}45 \end{pmatrix}$$

Étape 9

La probabilité que le système se trouve dans l'état $A$ à l'instant $t = 2$ correspond à la première composante de la matrice ligne $\pi_2$, soit $0{,}55$.