Forme trigonométrique et exponentielle imaginaire
L'essentiel du cours (1 notion)
Formes trigonométrique et exponentielle
Propriété : Pour $z = a + ib \neq 0$, $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ avec le module $r = \sqrt{a^2+b^2}$ et un argument $\theta$ vérifiant $\cos\theta = \frac{a}{r}$ et $\sin\theta = \frac{b}{r}$.
Méthode : Technique de l'angle moitié : pour $\theta \in ]-\pi, \pi[$, factoriser $1 + e^{i\theta}$ par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ donne $e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{-i\frac{\theta}{2}} + e^{i\frac{\theta}{2}}\right) = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$ (forme exponentielle car $2\cos(\frac{\theta}{2}) > 0$).
Exemple : Pour $z = 1 + i$ : $r = \sqrt{2}$ et $\theta \equiv \frac{\pi}{4} \pmod{2\pi}$, d'où la forme exponentielle $z = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.
On considère le nombre complexe $z$ défini par sa forme exponentielle :
$$z = 8 e^{i \frac{\pi}{3}}$$Sa forme algébrique s'écrit sous la forme $z = a + i b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
Déterminer la valeur de la partie réelle $a$.
On considère les nombres complexes $z_1 = 3 e^{i \frac{\pi}{4}}$ et $z_2 = a e^{i \frac{\pi}{4}}$, où $a$ est un nombre réel strictement positif.
On pose $Z = z_1 z_2$. Sachant que la partie imaginaire de $Z$ est égale à $27$, déterminer la valeur du réel $a$.
Saisir la valeur de $a$.
On considère le nombre complexe $z$ défini par :
$$z = 6\sqrt{3}\,\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$$
Déterminer la forme algébrique de $z$, puis en déduire sa partie imaginaire.
Saisir la partie imaginaire de $z$.
On considère le nombre complexe $z = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\mathrm{i}$.
En utilisant la forme exponentielle de $z$, déterminer le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que le nombre complexe $z^n$ soit un nombre réel strictement positif.
Saisir la valeur de $n$.
Soit $\theta$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $\left]0, \dfrac{\pi}{2}\right[$. On considère le nombre complexe :
$$Z = \dfrac{\sqrt{3} + i}{e^{i\theta}}$$On sait que $Z^3 = -8i$. La valeur de $\theta$ s'écrit sous la forme $\dfrac{\pi}{k}$, où $k$ est un entier naturel non nul.
Déterminer la valeur de l'entier $k$.
On considère, pour tout entier naturel non nul $n$, le nombre complexe défini par :
$$Z_n = \left(1 + e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^n$$Par une démonstration complète, déterminer la plus petite valeur de l'entier $n \ge 1$ pour laquelle $Z_n$ est un nombre imaginaire pur.
Saisir la valeur de $n$.