Étape 1
Pour déterminer si $Z_n$ est un imaginaire pur, exprimons d'abord le nombre complexe $1 + e^{i\frac{\pi}{6}}$ sous forme exponentielle.
Étape 2
En factorisant par l'angle moitié $e^{i\frac{\pi}{12}}$, nous obtenons : $$1 + e^{i\frac{\pi}{6}} = e^{i\frac{\pi}{12}} \left(e^{-i\frac{\pi}{12}} + e^{i\frac{\pi}{12}}\right)$$
Étape 3
D'après les formules d'Euler, on a $e^{i\frac{\pi}{12}} + e^{-i\frac{\pi}{12}} = 2\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$. D'où : $$1 + e^{i\frac{\pi}{6}} = 2\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) e^{i\frac{\pi}{12}}$$
Étape 4
Comme $0 < \frac{\pi}{12} < \frac{\pi}{2}$, le réel $2\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$ est strictement positif. Il s'agit donc du module de $1 + e^{i\frac{\pi}{6}}$, et un argument est $\frac{\pi}{12}$.
Étape 5
En élevant à la puissance $n$, on obtient la forme exponentielle de $Z_n$ : $$Z_n = \left(2\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\right)^n e^{i\frac{n\pi}{12}}$$
Étape 6
Un nombre complexe non nul est un imaginaire pur si et seulement si l'un de ses arguments est de la forme $\frac{\pi}{2} + k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$.
Étape 7
Cela équivaut à écrire : $$\frac{n\pi}{12} = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$
Étape 8
En divisant par $\pi$ puis en multipliant par $12$, on obtient $n = 6 + 12k$.
Étape 9
Comme $n$ doit être un entier naturel non nul ($n \ge 1$), la plus petite valeur possible est obtenue pour $k = 0$, ce qui donne $n = 6$.
Méthode clé
Pour transformer une somme du type $1 + e^{i\theta}$, on factorise par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ pour faire apparaître les formules d'Euler et passer à la forme exponentielle.
Piège à éviter
Oublier de vérifier que le facteur réel obtenu devant l'exponentielle est strictement positif avant d'identifier l'argument.
