Étape 1
On détermine la forme exponentielle du nombre complexe $z = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\mathrm{i}$.
Étape 2
On calcule son module : $$|z| = \sqrt{\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}} = 1$$
Étape 3
Un argument $\theta$ de $z$ vérifie $\cos(\theta) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin(\theta) = \dfrac{1}{2}$, d'où $\theta = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} \pmod{2\pi}$. La forme exponentielle de $z$ est donc $z = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$.
Étape 4
Pour tout entier naturel non nul $n$, on a d'après les propriétés de l'exponentielle imaginaire : $$z^n = \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}\right)^n = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5n\pi}{6}}$$
Étape 5
Le nombre complexe $z^n$ est un réel strictement positif si et seulement si son argument principal est nul modulo $2\pi$, ce qui équivaut à l'existence d'un entier relatif $k$ tel que : $$\dfrac{5n\pi}{6} = 2k\pi$$
Étape 6
Cette égalité équivaut à $5n = 12k$. Comme $5$ et $12$ sont premiers entre eux, le théorème de Gauss assure que $12$ divise $n$.
Étape 7
Les entiers naturels non nuls $n$ vérifiant cette condition sont donc les multiples strictement positifs de $12$. Le plus petit d'entre eux est $12$.
Méthode clé
Pour calculer des puissances entières d'un nombre complexe, la forme exponentielle $z = r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ transforme l'élévation à la puissance en calcul direct : $z^n = r^n\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}$.
Piège à éviter
Confondre un réel quelconque ($n\theta \equiv 0 \pmod{\pi}$) et un réel strictement positif ($n\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$).
