Étape 1
D'après la définition de la notation exponentielle, pour tout réel $\theta$, on a : $$\text{e}^{\text{i}\theta} = \cos(\theta) + \text{i}\sin(\theta)$$
Étape 2
On applique cette relation au nombre complexe $z$ avec $r = 6\sqrt{3}$ et $\theta = \frac{2\pi}{3}$ : $$z = 6\sqrt{3}\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + \text{i}\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)$$
Étape 3
On utilise les valeurs remarquables du cercle trigonométrique : $$\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \quad \text{et} \quad \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Étape 4
En développant l'expression de $z$, on obtient sa forme algébrique : $$z = 6\sqrt{3} \times \left(-\frac{1}{2}\right) + \text{i} \left(6\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ soit : $$z = -3\sqrt{3} + 9\text{i}$$
Étape 5
La partie imaginaire de $z$ est donc égale à $9$.
Méthode clé
Pour passer de la forme exponentielle $r\,\text{e}^{\text{i}\theta}$ à la forme algébrique, on exprime d'abord la forme trigonométrique $r(\cos(\theta) + \text{i}\sin(\theta))$, puis on calcule $\text{Re}(z) = r\cos(\theta)$ et $\text{Im}(z) = r\sin(\theta)$.
Piège à éviter
Ne pas confondre le cosinus et le sinus de $\frac{2\pi}{3}$ : $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ et $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
