Exercice : Forme trigonométrique et exponentielle imaginaire

Étape 1

En utilisant les propriétés du produit sous forme exponentielle, on exprime $Z$ sous sa forme exponentielle : $$Z = z_1 z_2 = \left(3 e^{i \frac{\pi}{4}}\right) \times \left(a e^{i \frac{\pi}{4}}\right) = 3a e^{i \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right)} = 3a e^{i \frac{\pi}{2}}$$

Étape 2

On sait que $e^{i \frac{\pi}{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = i$. On en déduit la forme algébrique de $Z$ : $$Z = 3a i$$

Étape 3

La partie imaginaire de $Z$ est donc $\text{Im}(Z) = 3a$. Or, d'après l'énoncé, la partie imaginaire de $Z$ vaut $27$. Ce qui équivaut à : $$3a = 27$$ D'où $a = \frac{27}{3} = 9$.