Exercice : Forme trigonométrique et exponentielle imaginaire

Étape 1

On sait que la forme exponentielle d'un nombre complexe s'écrit $z = r e^{i\theta}$, où $r$ désigne le module de $z$ et $\theta$ un argument de $z$.

Étape 2

Ici, nous avons $r = 8$ et $\theta = \frac{\pi}{3}$.

Étape 3

En utilisant la formule d'Euler, on passe à la forme trigonométrique :

Étape 4

$$z = 8 \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$$

Étape 5

On rappelle les valeurs remarquables des fonctions trigonométriques pour l'angle $\frac{\pi}{3}$ :

Étape 6

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Étape 7

En développant l'expression, on obtient la forme algébrique $z = a + i b$ :

Étape 8

$$z = 8 \times \frac{1}{2} + i \left(8 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 4 + 4\sqrt{3} i$$

Étape 9

Par identification de la partie réelle, on conclut que $a = 4$.