Étape 1
Mettons le numérateur $w = \sqrt{3} + i$ sous forme exponentielle. Son module est $|w| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$.
Étape 2
On en déduit : $$w = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + i\dfrac{1}{2}\right) = 2 e^{i\frac{\pi}{6}}$$ Soit l'élément intermédiaire $M1$ : $$Z = \dfrac{2 e^{i\frac{\pi}{6}}}{e^{i\theta}} = 2 e^{i\left(\frac{\pi}{6} - \theta\right)}$$
Étape 3
En élevant $Z$ à la puissance $3$, il vient : $$Z^3 = \left(2 e^{i\left(\frac{\pi}{6} - \theta\right)}\right)^3 = 8 e^{i\left(\frac{\pi}{2} - 3\theta\right)}$$
Étape 4
D'autre part, le nombre $-8i$ s'écrit sous forme exponentielle : $$-8i = 8 e^{-i\frac{\pi}{2}}$$ Par identification des arguments, l'égalité $Z^3 = -8i$ équivaut à : $$\dfrac{\pi}{2} - 3\theta \equiv -\dfrac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$$
Étape 5
On en déduit que $-3\theta \equiv -\pi \pmod{2\pi}$, ce qui équivaut à $3\theta \equiv \pi \pmod{2\pi}$.
Étape 6
Les solutions sont de la forme $\theta = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2m\pi}{3}$ avec $m \in \mathbb{Z}$. L'unique solution dans l'intervalle $\left]0, \dfrac{\pi}{2}\right[$ est obtenue pour $m = 0$, soit $\theta = \dfrac{\pi}{3}$. Ainsi, $k = 3$.
Méthode clé
Pour effectuer des calculs de puissances ou de quotients de nombres complexes, la forme exponentielle transforme les opérations géométriques en règles de calcul algébrique sur les arguments.
Piège à éviter
Ne pas confondre l'argument de $-8i$ (qui vaut $-\dfrac{\pi}{2}$ modulo $2\pi$) avec celui de $8i$ (qui vaut $\dfrac{\pi}{2}$).
