Euler, Moivre et linéarisation
L'essentiel du cours (2 notions)
Formules d'Euler et de Moivre
Propriété : Formules d'Euler : $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$. Formule de Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$, soit $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$ ($n \in \mathbb{Z}$).
Méthode : Pour calculer la puissance $z^n$, exprimer $z$ sous sa forme exponentielle $re^{i\theta}$, puis appliquer la formule de Moivre : $z^n = (re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$.
Exemple : $(1+i)^8 = \left(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^8 = (\sqrt{2})^8 e^{i 2\pi} = 16 \times 1 = 16$.
Formules trigonométriques et linéarisation
Propriété : L'égalité $e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib}$ donne $\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$ et $\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$. Pour $a=b$, $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a$.
Méthode : Pour linéariser $\cos^n(x)$ ou $\sin^n(x)$ ($n \le 4$), remplacer par Euler, développer via le binôme de Newton, puis regrouper les termes $e^{ikx} \pm e^{-ikx}$.
Exemple : $\cos^2 x = \left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^2 = \frac{e^{2ix} + 2 + e^{-2ix}}{4} = \frac{\cos(2x) + 1}{2}$.
Soit $x$ un nombre réel.
En développant l'expression $(\cos(x) + i\sin(x))^3$ et en utilisant la formule de Moivre, on cherche à exprimer $\cos(3x)$ en fonction de $\cos(x)$.
On obtient une égalité de la forme :
$$\cos(3x) = a\cos^3(x) + b\cos(x)$$où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs.
Saisir la valeur de l'entier $a$.
Soit $\theta$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ et soit $z = \mathrm{e}^{i\theta}$.
On sait que la partie réelle du nombre complexe $z^2$ est égale à $0{,}28$.
On écrit $\cos(\theta)$ sous la forme $\frac{k}{10}$, où $k$ est un entier naturel.
Saisir la valeur de l'entier $k$.
On considère le nombre complexe $z = \dfrac{\sqrt{3} + i}{1 - i}$.
Déterminer le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $z^n$ soit un nombre réel strictement positif.
Votre réponse doit être donnée sous la forme d'un nombre entier.
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O; \vec{e_1}, \vec{e_2})$, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A = e^{i\theta}$ et $z_B = 1 + i$, où $\theta$ est un réel appartenant à l'intervalle $\left[\frac{\pi}{4}, \pi\right]$.
On sait que le produit scalaire des vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{OB}$ est égal à $\frac{\sqrt{6}}{2}$.
L'angle $\theta$ s'écrit sous la forme $\theta = \frac{k\pi}{12}$ avec $k$ un entier naturel.
Saisir la valeur de l'entier $k$.
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels vérifiant les deux égalités suivantes :
$$\cos(a) + \cos(b) = \frac{6}{5}$$$$\sin(a) + \sin(b) = \frac{2}{5}$$Déterminer la valeur exacte de $\cos(2(a-b))$.
Saisir la valeur sous forme d'une fraction irréductible.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = 16 \sin^5(x) + 5 \sin(3x) - 10 \sin(x)$$Par une démonstration théorique rigoureuse fondée sur la linéarisation de l'expression trigonométrique, déterminer le plus grand entier naturel non nul $n$ tel que $f\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{1}{2}$.
Saisir la valeur de l'entier $n$.