Exercice : Euler, Moivre et linéarisation

Étape 1

D'une part, d'après la formule de Moivre, pour tout réel $x$ : $$(\cos(x) + i\sin(x))^3 = \cos(3x) + i\sin(3x)$$

Étape 2

D'autre part, en développant $(\cos(x) + i\sin(x))^3$ à l'aide de l'identité remarquable du cube : $$(\cos(x) + i\sin(x))^3 = \cos^3(x) + 3i\cos^2(x)\sin(x) + 3i^2\cos(x)\sin^2(x) + i^3\sin^3(x)$$

Étape 3

Comme $i^2 = -1$ et $i^3 = -i$, on sépare la partie réelle et la partie imaginaire : $$(\cos(x) + i\sin(x))^3 = \left(\cos^3(x) - 3\cos(x)\sin^2(x)\right) + i\left(3\cos^2(x)\sin(x) - \sin^3(x)\right)$$

Étape 4

En égalant les parties réelles des deux expressions, on obtient : $$\cos(3x) = \cos^3(x) - 3\cos(x)\sin^2(x)$$

Étape 5

On utilise la relation fondamentale $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ : $$\cos(3x) = \cos^3(x) - 3\cos(x)(1 - \cos^2(x))$$ $$\cos(3x) = \cos^3(x) - 3\cos(x) + 3\cos^3(x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$$

Étape 6

Par identification avec l'expression $a\cos^3(x) + b\cos(x)$, on conclut que $a = 4$ (et $b = -3$).