Étape 1
On pose les nombres complexes $z_1 = \mathrm{e}^{ia} = \cos(a) + i\sin(a)$ et $z_2 = \mathrm{e}^{ib} = \cos(b) + i\sin(b)$.
Étape 2
La somme $z_1 + z_2$ s'écrit sous forme algébrique :$$z_1 + z_2 = (\cos(a) + \cos(b)) + i(\sin(a) + \sin(b)) = \frac{6}{5} + \frac{2}{5}i$$
Étape 3
On calcule le carré du module de cette somme à partir de ses parties réelle et imaginaire :$$|z_1 + z_2|^2 = \left(\frac{6}{5}\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{36}{25} + \frac{4}{25} = \frac{40}{25} = \frac{8}{5}$$
Étape 4
D'autre part, en utilisant les propriétés algébriques du module et du conjugué dans $\mathbb{C}$ :$$|z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2$$Comme $|z_1| = |z_2| = 1$ et $z_1\overline{z_2} = \mathrm{e}^{ia}\mathrm{e}^{-ib} = \mathrm{e}^{i(a-b)}$, on obtient :$$|z_1 + z_2|^2 = 1 + 1 + \mathrm{e}^{i(a-b)} + \mathrm{e}^{-i(a-b)} = 2 + 2\cos(a-b)$$Ce résultat correspond également au carré de la norme de la somme de deux vecteurs unitaires faisant entre eux un angle de mesure $a-b$.
Étape 5
En égalant les deux expressions obtenues pour $|z_1 + z_2|^2$, on déduit :$$2 + 2\cos(a-b) = \frac{8}{5}$$soit :$$2\cos(a-b) = \frac{8}{5} - 2 = -\frac{2}{5}$$d'où :$$\cos(a-b) = -\frac{1}{5}$$
Étape 6
On applique enfin la formule de duplication trigonométrique pour l'angle $a-b$ :$$\cos(2(a-b)) = 2\cos^2(a-b) - 1$$En remplaçant $\cos(a-b)$ par sa valeur :$$\cos(2(a-b)) = 2\left(-\frac{1}{5}\right)^2 - 1 = 2 \times \frac{1}{25} - 1 = \frac{2}{25} - \frac{25}{25} = -\frac{23}{25}$$
Méthode clé
Développer $|\mathrm{e}^{ia} + \mathrm{e}^{ib}|^2$ permet d'isoler $\cos(a-b)$, puis la duplication donne directement $\cos(2(a-b))$.
Piège à éviter
Ne pas tenter de résoudre le système non linéaire pour trouver $a$ et $b$ séparément.
