Étape 1
Pour tout réel $x$, la formule d'Euler donne :
Étape 2
$$\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$$
Étape 3
En élevant cette expression à la puissance 5 et en notant que $(2i)^5 = 32i^5 = 32i$, on obtient :
Étape 4
$$\sin^5(x) = \frac{1}{32i} \left( e^{ix} - e^{-ix} \right)^5$$
Étape 5
D'après la formule du binôme de Newton :
Étape 6
$$\left( e^{ix} - e^{-ix} \right)^5 = e^{i5x} - 5 e^{i3x} + 10 e^{ix} - 10 e^{-ix} + 5 e^{-i3x} - e^{-i5x}$$
Étape 7
En regroupant les termes exponentiels opposés et en utilisant la relation $e^{ikx} - e^{-ikx} = 2i \sin(kx)$, il vient :
Étape 8
$$\left( e^{ix} - e^{-ix} \right)^5 = (e^{i5x} - e^{-i5x}) - 5(e^{i3x} - e^{-i3x}) + 10(e^{ix} - e^{-ix})$$
Étape 9
$$\left( e^{ix} - e^{-ix} \right)^5 = 2i \sin(5x) - 10i \sin(3x) + 20i \sin(x)$$
Étape 10
On en déduit l'expression linéarisée de $\sin^5(x)$ :
Étape 11
$$\sin^5(x) = \frac{2i \sin(5x) - 10i \sin(3x) + 20i \sin(x)}{32i} = \frac{1}{16} \sin(5x) - \frac{5}{16} \sin(3x) + \frac{5}{8} \sin(x)$$
Étape 12
En multipliant par $16$, on obtient :
Étape 13
$$16 \sin^5(x) = \sin(5x) - 5 \sin(3x) + 10 \sin(x)$$
Étape 14
En substituant cette égalité dans la définition de $f(x)$, les termes en $\sin(3x)$ et $\sin(x)$ s'annulent :
Étape 15
$$f(x) = (\sin(5x) - 5 \sin(3x) + 10 \sin(x)) + 5 \sin(3x) - 10 \sin(x) = \sin(5x)$$
Étape 16
L'équation $f\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{1}{2}$ équivaut donc à :
Étape 17
$$\sin\left(\frac{5\pi}{n}\right) = \frac{1}{2}$$
Étape 18
Ce qui signifie qu'il existe un entier relatif $k$ tel que :
Étape 19
$$\frac{5\pi}{n} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \frac{5\pi}{n} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$$
Étape 20
Dans le premier cas, en divisant par $\pi$ et en isolant $n$ :
Étape 21
$$\frac{5}{n} = \frac{1 + 12k}{6} \implies n = \frac{30}{12k + 1}$$
Étape 22
Pour $k = 0$, on obtient $n = 30$, qui est un entier naturel non nul. Pour toute autre valeur entière de $k$, le quotient n'est pas un entier naturel.
Étape 23
Dans le second cas :
Étape 24
$$\frac{5}{n} = \frac{5 + 12k}{6} \implies n = \frac{30}{12k + 5}$$
Étape 25
Pour $k = 0$, on obtient $n = 6$, qui est également un entier naturel non nul. Pour toute autre valeur entière de $k$, le quotient n'est pas un entier naturel.
Étape 26
Les seules valeurs entières naturelles non nulles vérifiant la propriété sont donc $n = 6$ et $n = 30$. Le plus grand de ces entiers est $30$.
Méthode clé
Appliquer la formule d'Euler $\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$, développer par le binôme de Newton, puis regrouper les termes conjugués sous la forme $e^{ikx} - e^{-ikx} = 2i \sin(kx)$ pour éliminer la puissance.
Piège à éviter
Attention au calcul du dénominateur $(2i)^5 = 32i^5 = 32i$. Une erreur de signe ou de puissance de $i$ fausse tous les coefficients de la linéarisation.
