Étape 1
D'une part, déterminons la forme algébrique des affixes des points $A$ et $B$ : $$z_A = \cos\theta + i\sin\theta \quad \text{et} \quad z_B = 1 + i$$ Les coordonnées des vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{OB}$ sont respectivement $(\cos\theta\,; \sin\theta)$ et $(1\,; 1)$. Le produit scalaire s'exprime par : $$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 1 \times \cos\theta + 1 \times \sin\theta = \cos\theta + \sin\theta$$
Étape 2
D'autre part, exprimons $z_B$ sous forme exponentielle : $$|z_B| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$ $$z_B = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$$ En utilisant le lien entre produit scalaire et nombres complexes, on a : $$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \text{Re}(z_A \overline{z_B}) = \text{Re}\left(e^{i\theta} \times \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\right) = \sqrt{2}\cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)$$
Étape 3
En égalant cette expression à la valeur donnée par l'énoncé, on obtient l'équation : $$\sqrt{2}\cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2}$$ Ce qui équivaut à : $$\cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Étape 4
Comme $\theta \in \left[\frac{\pi}{4}, \pi\right]$, on en déduit l'encadrement : $$0 \leqslant \theta - \frac{\pi}{4} \leqslant \frac{3\pi}{4}$$ Sur cet intervalle, l'équation $\cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ possède une unique solution : $$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6}$$ D'où : $$\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{12}$$
Étape 5
Par identification avec l'écriture $\theta = \frac{k\pi}{12}$, on conclut que $k = 5$.
Méthode clé
Le produit scalaire de deux vecteurs d'affixes $z_1$ et $z_2$ est égal à $\text{Re}(z_1 \overline{z_2})$, ce qui permet de condenser des sommes du type $a\cos\theta + b\sin\theta$.
Piège à éviter
Oublier de contrôler l'intervalle de variation du composant $\theta - \frac{\pi}{4}$ lors de la résolution trigonométrique.
