Exercice : Euler, Moivre et linéarisation

Étape 1

D'une part, en utilisant la propriété des puissances de l'exponentielle complexe, nous avons : $$z^2 = \left(\mathrm{e}^{i\theta}\right)^2 = \mathrm{e}^{i2\theta}$$

Étape 2

Par définition de la forme trigonométrique, la partie réelle de $z^2$ est : $$\operatorname{Re}(z^2) = \cos(2\theta)$$

Étape 3

D'autre part, d'après la formule trigonométrique de duplication du cosinus, nous savons que : $$\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$$

Étape 4

En égalisant avec la valeur donnée dans l'énoncé, il vient : $$2\cos^2(\theta) - 1 = 0{,}28$$

Étape 5

Isolons $\cos^2(\theta)$ dans cette équation : $$2\cos^2(\theta) = 1{,}28$$ D'où : $$\cos^2(\theta) = 0{,}64$$

Étape 6

Comme $\theta \in \left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$, le cosinus de $\theta$ est positif. Nous en déduisons : $$\cos(\theta) = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$$

Étape 7

Puisque $\cos(\theta) = \frac{k}{10}$, nous obtenons $\frac{k}{10} = 0{,}8$, ce qui équivaut à $k = 8$.