Étape 1
Déterminons d'abord la forme exponentielle du numérateur $Z_1 = \sqrt{3} + i$ et du dénominateur $Z_2 = 1 - i$.
Étape 2
Pour $Z_1 = \sqrt{3} + i$ : le module est $|Z_1| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$. On a donc : $$Z_1 = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = 2 e^{i\frac{\pi}{6}}$$ Pour $Z_2 = 1 - i$ : le module est $|Z_2| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$. On a donc : $$Z_2 = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i\right) = \sqrt{2} e^{-i\frac{\pi}{4}}$$
Étape 3
En effectuant le quotient, on obtient la forme exponentielle de $z$ : $$z = \frac{Z_1}{Z_2} = \frac{2 e^{i\frac{\pi}{6}}}{\sqrt{2} e^{-i\frac{\pi}{4}}} = \sqrt{2} e^{i\left(\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)} = \sqrt{2} e^{i\frac{5\pi}{12}}$$ D'après la formule de Moivre (ou les propriétés de l'exponentielle complexe), pour tout entier naturel $n$ : $$z^n = \left(\sqrt{2} e^{i\frac{5\pi}{12}}\right)^n = (\sqrt{2})^n e^{i\frac{5n\pi}{12}}$$
Étape 4
Le nombre complexe $z^n$ est un réel strictement positif si et seulement si son argument est un multiple de $2\pi$, ce qui équivaut à : $$\frac{5n\pi}{12} \equiv 0 \pmod{2\pi}$$ Il existe donc un entier relatif $k$ tel que : $$\frac{5n\pi}{12} = 2k\pi$$ En simplifiant par $\pi$ puis en multipliant par $12$, on obtient l'égalité : $$5n = 24k$$
Étape 5
Puisque $5$ et $24$ sont premiers entre eux, d'après le théorème de Gauss, $24$ doit diviser $n$. Ainsi, $n$ est un multiple entier de $24$. Le plus petit entier naturel non nul répondant à cette condition est donc $n = 24$.
Méthode clé
Pour calculer des puissances $z^n$ d'un nombre complexe, il est judicieux de l'écrire sous forme exponentielle $z = r e^{i\theta}$, ce qui donne $z^n = r^n e^{i n\theta}$.
Piège à éviter
Ne pas confondre la condition « être un réel » ($n\theta \equiv 0 \pmod{\pi}$) avec « être un réel strictement positif » ($n\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$).
