État stable et comportement asymptotique

Soit une chaîne de Markov à deux états dont la matrice de transition est :

On note $\pi = (x \quad y)$ la distribution invariante associée à cette chaîne, vérifiant la condition $x + y = 1$.

Déterminer la valeur exacte de la première composante $x$ de la distribution invariante.

Saisir la valeur de $x$ sous la forme d'une fraction irréductible.

On considère une chaîne de Markov à deux états dont la matrice de transition est :

$$P = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \\ 0{,}1 & 0{,}9 \end{pmatrix}$$

Soit $\pi = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ la distribution invariante associée à cette chaîne de Markov, où $x$ et $y$ sont des réels strictement positifs vérifiant $x + y = 1$.

Déterminer cette distribution invariante.

Saisir la valeur de $x$ sous forme décimale.

On considère une chaîne de Markov à deux états dont la matrice de transition est donnée par :

Parmi les quatre affirmations suivantes concernant le comportement asymptotique et la distribution invariante de cette chaîne de Markov, une seule est fausse :

1. La distribution invariante de cette chaîne est la matrice ligne $\pi = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$.
2. Si à une étape $n$, la distribution de probabilité est $\pi_n = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$, alors à l'étape suivante on a $\pi_{n+1} = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$.
3. La matrice ligne $\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ constitue une autre distribution invariante de cette chaîne.
4. Les coefficients de toute matrice ligne de distribution de probabilité ont une somme égale à $1$.

Indiquer le numéro de l'unique affirmation fausse.

On considère une chaîne de Markov à trois états dont la matrice de transition $P$ dépend d'un paramètre réel $k \in ]0 ; 1[$ et s'écrit :

On note $\pi = \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}$ la distribution invariante associée à cette chaîne de Markov, où $x$, $y$ et $z$ sont trois réels strictement positifs.

Déterminer la valeur exacte du paramètre $k$ pour laquelle la probabilité du premier état dans la distribution invariante est égale à $\frac{1}{4}$, c'est-à-dire telle que $x = \frac{1}{4}$.

Saisir la valeur exacte de $k$ sous la forme d'une fraction irréductible.

Un réseau Web est constitué de quatre pages $A$, $B$, $C$ et $D$. Les navigo-lecteurs se déplacent d'une page à l'autre selon les probabilités représentées sur le graphe ci-dessous, où $p$ est une probabilité appartenant à l'intervalle $]0~;~1[$.

Le score de popularité de chaque page dans l'algorithme PageRank est donné par le vecteur probabiliste $V = \begin{pmatrix} x & y & z & t \end{pmatrix}$ correspondant à l'état stable du réseau, c'est-à-dire l'unique vecteur vérifiant $V T = V$ et $x + y + z + t = 1$, où $T$ désigne la matrice de transition associée au réseau.

Après analyse du réseau, le score de popularité de la page $B$ est égal à $0{,}25$.

Saisir la valeur de la probabilité $p$.

On considère un modèle simplifié de diffusion d'Ehrenfest comportant $2$ boules réparties entre deux urnes $A$ et $B$.

À chaque étape temporelle $n \in \mathbb{N}$, une transition aléatoire a lieu selon les règles suivantes :

• Si l'urne $A$ contient au moins une boule, une boule est prélevée dans $A$ et transférée dans $B$ avec la probabilité $p$, où $p \in ]0 ; 1[$.
• Si l'urne $B$ contient au moins une boule, une boule est prélevée dans $B$ et transférée dans $A$ avec la probabilité $1-p$.

On note $X_n$ le nombre de boules contenues dans l'urne $A$ à l'étape $n$. La suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une chaîne de Markov à états dans $\{0 ; 1 ; 2\}$.

On observe qu'au bout d'un grand nombre d'étapes, la probabilité asymptotique que l'urne $A$ ne soit pas vide est égale à $\frac{12}{13}$.

Déterminer la valeur du paramètre $p$.

Saisir la valeur de $p$ sous forme décimale.