Exercice : État stable et comportement asymptotique

Étape 1

Par définition, une distribution invariante $\pi = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ vérifie la relation matricielle :

Étape 2

$$\pi P = \pi \quad \text{avec} \quad x + y = 1$$

Étape 3

On calcule le produit matriciel $\pi P$ :

Étape 4

$$\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \\ 0{,}1 & 0{,}9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6x + 0{,}1y & 0{,}4x + 0{,}9y \end{pmatrix}$$

Étape 5

L'égalité matricielle $\pi P = \pi$ donne en première composante l'équation :

Étape 6

$$0{,}6x + 0{,}1y = x$$

Étape 7

En soustrayant $0{,}6x$ de chaque côté, on obtient :

Étape 8

$$0{,}1y = 0{,}4x$$

Étape 9

soit en multipliant par 10 :

Étape 10

$$y = 4x$$

Étape 11

Sachant que $x + y = 1$, on remplace $y$ par $4x$ :

Étape 12

$$x + 4x = 1$$

Étape 13

$$5x = 1$$

Étape 14

On en déduit :

Étape 15

$$x = \frac{1}{5} = 0{,}2$$

Étape 16

On vérifie que $y = 4 \times 0{,}2 = 0{,}8$, ce qui donne bien $0{,}4 \times 0{,}2 + 0{,}9 \times 0{,}8 = 0{,}08 + 0{,}72 = 0{,}8 = y$.