Étape 1
D'après le graphe orienté du réseau Web, la matrice de transition stochastique par lignes $T$ s'écrit :
$$T = \begin{pmatrix} 0 & p & 1-p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Étape 2
Soit $V = \begin{pmatrix} x & y & z & t \end{pmatrix}$ l'état stable. L'égalité $V T = V$ se traduit par le système d'équations suivant :
$$\begin{cases} t = x \\ p x + \frac{1}{2} z = y \\ (1-p) x = z \\ y + \frac{1}{2} z = t \end{cases}$$
Étape 3
En exprimant chaque variable en fonction de $x$, la troisième équation donne directement :
$$z = (1-p) x$$
Étape 4
En substituant cette expression de $z$ dans la deuxième équation, on obtient :
$$y = p x + \frac{1}{2} (1-p) x = \left(p + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} p\right) x = \frac{1+p}{2} x$$
Étape 5
Utilisons la condition de normalisation $x + y + z + t = 1$. Comme $t = x$, cela s'écrit :
$$x + \frac{1+p}{2} x + (1-p) x + x = 1$$
Ce qui équivaut à :
$$x \left( 3 - p + \frac{1+p}{2} \right) = 1$$
$$x \left( \frac{7-p}{2} \right) = 1$$
D'où la valeur de $x$ :
$$x = \frac{2}{7-p}$$
Étape 6
On en déduit l'expression du score de popularité de la page $B$ en fonction de $p$ :
$$y = \frac{1+p}{2} \times \frac{2}{7-p} = \frac{1+p}{7-p}$$
Étape 7
Or, l'énoncé indique que le score de la page $B$ vaut $0{,}25$, c'est-à-dire $\frac{1}{4}$. On résout donc l'équation :
$$\frac{1+p}{7-p} = \frac{1}{4}$$
Ce qui équivaut successivement à :
$$4(1+p) = 7-p$$
$$4 + 4p = 7 - p$$
$$5p = 3$$
$$p = \frac{3}{5} = 0{,}6$$
Méthode clé
Exprimer l'état stable $V$ en fonction du paramètre en résolvant le système matriciel $VT=V$ couplé à la condition de normalisation des probabilités $\sum v_i = 1$.
Piège à éviter
Oublier d'utiliser la condition de normalisation $x + y + z + t = 1$, sans laquelle le système $VT = V$ admet une infinité de solutions.
