Exercice : État stable et comportement asymptotique

Étape 1

Par définition, une distribution invariante $\pi = (x \quad y)$ vérifie la relation matricielle $\pi P = \pi$ et la contrainte de normalisation $x + y = 1$.

Étape 2

Calculons le produit matriciel $\pi P$ :

Étape 3

$$\pi P = (x \quad y) \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix} = (0{,}8 x + 0{,}3 y \quad 0{,}2 x + 0{,}7 y)$$

Étape 4

L'égalité $\pi P = \pi$ conduit au système d'équations suivant :

Étape 5

$$\begin{cases} 0{,}8 x + 0{,}3 y = x \\ 0{,}2 x + 0{,}7 y = y \end{cases}$$

Étape 6

La première équation équivaut à $-0{,}2 x + 0{,}3 y = 0$, ce qui simplifie en $2x = 3y$. La seconde équation donne exactement la même relation.

Étape 7

En ajoutant la contrainte $x + y = 1$, nous pouvons exprimer $y$ en fonction de $x$ par $y = 1 - x$.

Étape 8

En substituant $y$ dans la relation $2x = 3y$, on obtient :

Étape 9

$$2x = 3(1 - x)$$

Étape 10

$$2x = 3 - 3x$$

Étape 11

$$5x = 3$$

Étape 12

D'où $x = \frac{3}{5}$.

Étape 13

La valeur exacte de la première composante de la distribution invariante est donc $\frac{3}{5}$ (on obtiendrait de même $y = \frac{2}{5}$).