Exercice : État stable et comportement asymptotique

Étape 1

Soit $\pi = \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}$ la distribution invariante de la chaîne de Markov. Par définition, elle vérifie l'égalité matricielle $\pi P = \pi$ et la condition de probabilité totale $x + y + z = 1$.

Étape 2

L'égalité matricielle $\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\[6pt] 0 & 1-k & k \\[6pt] \frac{1}{3} & 0 & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}$ se traduit par le système d'équations suivant :

Étape 3

$$\begin{cases} \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}z = x \\[6pt] \frac{1}{2}x + (1-k)y = y \\[6pt] ky + \frac{2}{3}z = z \end{cases}$$

Étape 4

En simplifiant la première équation, on obtient :

Étape 5

$$\frac{1}{3}z = x - \frac{1}{2}x \iff \frac{1}{3}z = \frac{1}{2}x \iff z = \frac{3}{2}x$$

Étape 6

En simplifiant la deuxième équation, on obtient :

Étape 7

$$\frac{1}{2}x + y - ky = y \iff ky = \frac{1}{2}x \iff y = \frac{x}{2k}$$

Étape 8

On injecte ces expressions de $y$ et $z$ en fonction de $x$ dans la condition $x + y + z = 1$ :

Étape 9

$$x + \frac{x}{2k} + \frac{3}{2}x = 1 \iff x \left(1 + \frac{1}{2k} + \frac{3}{2}\right) = 1 \iff x \left(\frac{5}{2} + \frac{1}{2k}\right) = 1$$

Étape 10

En réduisant au même dénominateur dans la parenthèse :

Étape 11

$$x \left(\frac{5k + 1}{2k}\right) = 1 \iff x = \frac{2k}{5k + 1}$$

Étape 12

On recherche la valeur du paramètre $k$ telle que $x = \frac{1}{4}$. Cela équivaut à resoudre l'équation :

Étape 13

$$\frac{2k}{5k + 1} = \frac{1}{4} \iff 4 \times 2k = 5k + 1 \iff 8k = 5k + 1 \iff 3k = 1 \iff k = \frac{1}{3}$$

Étape 14

La valeur du paramètre $k$ recherchée est donc $\frac{1}{3}$.