Exercice chaine de markov, distribution invariante, matrice de — État stable et comportement asymptotique (Terminale Maths Expertes)

★★ Avancé

On considère une chaîne de Markov à deux états dont la matrice de transition est donnée par :

$$P = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}$$

Parmi les quatre affirmations suivantes concernant le comportement asymptotique et la distribution invariante de cette chaîne de Markov, une seule est fausse :

La distribution invariante de cette chaîne est la matrice ligne $\pi = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$.
Si à une étape $n$, la distribution de probabilité est $\pi_n = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$, alors à l'étape suivante on a $\pi_{n+1} = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$.
La matrice ligne $\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ constitue une autre distribution invariante de cette chaîne.
Les coefficients de toute matrice ligne de distribution de probabilité ont une somme égale à $1$.

Indiquer le numéro de l'unique affirmation fausse.

Correction détaillée Étape par étape

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Réponse finale

Étape 1

Pour déterminer la distribution invariante d'une chaîne de Markov à deux états, on recherche une matrice ligne $\pi = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ dont les coefficients sont positifs, vérifiant la condition de probabilité $x + y = 1$ et l'équation matricielle $\pi P = \pi$.

Étape 2

Traduisons l'égalité matricielle $\pi P = \pi$ sous forme de système :

Étape 3

$$\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$$

Étape 4

Ce produit matriciel équivaut au système suivant :

Étape 5

$$\begin{cases} 0{,}7x + 0{,}2y = x \\ 0{,}3x + 0{,}8y = y \end{cases}$$

Étape 6

La première équation se simplifie de la façon suivante : $0{,}7x + 0{,}2y = x$ ce qui équivaut à $-0{,}3x + 0{,}2y = 0$, soit $3x = 2y$.

Étape 7

En utilisant la contrainte $x + y = 1$, on peut exprimer $y$ en fonction de $x$, soit $y = 1 - x$.

Étape 8

En substituant dans l'équation précédente, on obtient : $3x = 2(1 - x)$, ce qui équivaut à $3x = 2 - 2x$, d'où $5x = 2$, soit $x = 0{,}4$.

Étape 9

On en déduit alors $y = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$.

Étape 10

La chaîne de Markov admet donc une unique distribution invariante, donnée par la matrice ligne $\pi = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$.

Étape 11

Analyse des affirmations :

Étape 12

L'affirmation 1 est vraie car la résolution montre que $\pi = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ est l'unique distribution invariante.

Étape 13

L'affirmation 2 est vraie car par définition d'une distribution invariante, $\pi_{n+1} = \pi_n P = \pi_n$.

Étape 14

L'affirmation 3 est fausse car l'unicité de la distribution invariante exclut la possibilité d'en avoir une autre. De plus, un calcul direct donne :

Étape 15

$$\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}45 & 0{,}55 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$$

Étape 16

L'affirmation 4 est vraie par définition d'une distribution de probabilité.

Étape 17

L'unique affirmation fausse est donc l'affirmation 3.

Méthode clé

La distribution invariante $\pi = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ d'une chaîne de Markov est l'unique matrice ligne de probabilité (avec $x + y = 1$) qui satisfait l'équation matricielle $\pi P = \pi$.

Piège à éviter

Attention à bien multiplier la matrice ligne $\pi$ à gauche de la matrice de transition $P$ (calcul de $\pi P$ et non de $P \pi$).

Série en jeu !

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Exercice : État stable et comportement asymptotique

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