Étape 1
Soit $X_n \in \{0 ; 1 ; 2\}$ le nombre de boules dans l'urne $A$ à l'étape $n$. Déterminons les probabilités de transition entre les états.
Étape 2
Pour l'état $0$ ($A$ est vide, $B$ contient $2$ boules) : l'urne $A$ ne peut pas donner de boule. Une boule de $B$ est transférée dans $A$ avec la probabilité $1-p$, ce qui amène à l'état $1$. Aucune boule n'est transférée avec la probabilité $p$, ce qui laisse le système dans l'état $0$.
Étape 3
Pour l'état $1$ ($A$ contient $1$ boule, $B$ contient $1$ boule) : une boule de $A$ est transférée dans $B$ avec la probabilité $p$ (passage à l'état $0$), ou une boule de $B$ est transférée dans $A$ avec la probabilité $1-p$ (passage à l'état $2$).
Étape 4
Pour l'état $2$ ($A$ contient $2$ boules, $B$ est vide) : une boule de $A$ est transférée dans $B$ avec la probabilité $p$ (passage à l'état $1$). Sinon, le système reste dans l'état $2$ avec la probabilité $1-p$.
Étape 5
La matrice de transition $T$ associée à la chaîne de Markov s'écrit :
$$T = \begin{pmatrix} p & 1-p & 0 \\ p & 0 & 1-p \\ 0 & p & 1-p \end{pmatrix}$$
Étape 6
Cherchons la distribution stationnaire $\pi = (\pi_0, \pi_1, \pi_2)$ vérifiant $\pi T = \pi$ et $\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1$. Le système d'équations associé s'écrit :
$$\begin{cases} p\pi_0 + p\pi_1 = \pi_0 \\ (1-p)\pi_0 + p\pi_2 = \pi_1 \\ (1-p)\pi_1 + (1-p)\pi_2 = \pi_2 \end{cases}$$
Étape 7
La première équation donne $p\pi_1 = (1-p)\pi_0$, ce qui équivaut à $\pi_1 = \frac{1-p}{p}\pi_0$. Posons $q = \frac{1-p}{p}$. On obtient $\pi_1 = q\pi_0$.
Étape 8
De même, la troisième équation donne $(1-p)\pi_1 = p\pi_2$, ce qui équivaut à $\pi_2 = \frac{1-p}{p}\pi_1 = q\pi_1 = q^2\pi_0$.
Étape 9
En utilisant la condition de normalisation $\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1$, il vient :
$$\pi_0(1 + q + q^2) = 1 \quad \text{soit} \quad \pi_0 = \frac{1}{1 + q + q^2}$$
Étape 10
L'événement « l'urne $A$ n'est pas vide à l'état stable » correspond à $X \in \{1 ; 2\}$. Sa probabilité est $1 - \pi_0$. D'après l'énoncé, cette probabilité vaut $\frac{12}{13}$, d'où :
$$1 - \pi_0 = \frac{12}{13} \quad \text{ce qui équivaut à} \quad \pi_0 = \frac{1}{13}$$
Étape 11
On en déduit l'égalité :
$$\frac{1}{1 + q + q^2} = \frac{1}{13} \quad \text{soit} \quad q^2 + q - 12 = 0$$
Étape 12
Résolvons l'équation du second degré $q^2 + q - 12 = 0$. Le discriminant est $\Delta = 1^2 - 4(1)(-12) = 49 = 7^2$. Les solutions sont :
$$q_1 = \frac{-1 - 7}{2} = -4 \quad \text{et} \quad q_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3$$
Étape 13
Comme $p \in ]0 ; 1[$, le paramètre $q = \frac{1-p}{p}$ est strictement positif. On conserve donc uniquement la solution $q = 3$.
Étape 14
Il reste à déterminer $p$ à partir de $q = 3$ :
$$\frac{1-p}{p} = 3 \quad \text{ce qui équivaut à} \quad 1 - p = 3p \quad \text{soit} \quad 4p = 1$$
Étape 15
D'où $p = \frac{1}{4} = 0{,}25$.
Méthode clé
Exprimer la distribution stationnaire $\pi T = \pi$ en fonction du rapport $q = \frac{1-p}{p}$, puis traduire la condition asymptotique pour former une équation polynomiale en $q$.
Piège à éviter
Conserver la variable $p$ sous forme fractionnaire complexe au lieu d'introduire le paramètre intermédiaire $q = \frac{1-p}{p}$, ce qui alourdit considérablement le système d'équations.
