Divisibilité et division euclidienne dans ℤ
L'essentiel du cours (2 notions)
Divisibilité et division euclidienne dans $\mathbb{Z}$
Définition : Soit $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{N}^*$. Il existe un unique couple $(q, r) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}$ tel que $a = bq + r$ avec $0 \le r < b$.
Méthode : Pour déterminer les diviseurs de $a \in \mathbb{Z}^*$ : tester la divisibilité de $|a|$ par les entiers de $1$ à $\sqrt{|a|}$, associer chaque diviseur $d$ au quotient $\frac{|a|}{d}$, puis adjoindre leurs opposés.
Exemple : Pour $a = -17$ et $b = 5$ : $-17 = 5 \times (-4) + 3$ avec $0 \le 3 < 5$, d'où $q = -4$ et $r = 3$.
Critères et tests de divisibilité
Propriété : Un entier est divisible par $3$ (ou $9$) si et seulement si la somme de ses chiffres en écriture décimale est divisible par $3$ (ou $9$).
Méthode : Pour justifier un critère de divisibilité par $d$, décomposer $N = \sum_{k=0}^n a_k 10^k$ et étudier la congruence des puissances $10^k \pmod d$.
Exemple : Comme $10 \equiv 1 \pmod 9$, $10^k \equiv 1 \pmod 9$. Ainsi $477 \equiv 4+7+7 \equiv 0 \pmod 9$, donc $9 \mid 477$.
Soit $a = -47$ et $b = 7$.
On effectue la division euclidienne de l'entier relatif $a$ par l'entier naturel non nul $b$.
Déterminer la valeur du reste $r$.
On considère l'entier naturel $N_a$ dont l'écriture en base $10$ est $38a514$, où $a$ représente un chiffre inconnu ($0 \le a \le 9$).
Pour déterminer le chiffre $a$ tel que $N_a$ soit divisible par $11$, suivre les étapes ci-dessous :
- Justifier que $10 \equiv -1 \pmod{11}$, puis en déduire l'expression de $10^k \pmod{11}$ selon la parité de l'entier $k$.
- En utilisant la décomposition décimale de $N_a$, exprimer le reste de la division euclidienne de $N_a$ par $11$ sous la forme $2 - a \pmod{11}$.
- En déduire l'unique chiffre $a$ tel que $N_a$ soit divisible par $11$.
Saisir la valeur du chiffre $a$.
On souhaite établir un critère de divisibilité par $17$.
Pour tout entier naturel $N$ s'écrivant sous la forme $N = 10a + b$, avec $a \text{ entier naturel}$ et $b \text{ entier compris entre } 0 \text{ et } 9$, on cherche un entier $k \text{ appartenant à } \{1, \dots, 16\}$ tel que :
$N$ est divisible par $17$ si et seulement si $a + kb$ est divisible par $17$.
En reliant $N$ et la quantité $10(a + kb)$, puis en utilisant le fait que $10$ et $17$ sont premiers entre eux, déterminer la valeur de l'entier $k$.
Saisir la valeur de $k$.
On considère l'entier relatif $a = -149$.
La division euclidienne de $a$ par un entier naturel non nul $b$ donne pour quotient $-9$ et pour reste $4$.
Déterminer la valeur de l'entier $b$.
On considère la suite d'entiers $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$A_n = 2^{4n+1} + k \times 3^{n+2}$$où $k$ est un entier naturel non nul.
Déterminer la plus petite valeur de l'entier $k$ pour laquelle $A_n$ est un multiple de $13$ pour tout entier naturel $n$.
Saisir la valeur de l'entier $k$.
On considère l'expression $A(n) = 2n^2 + 13n + 39$ où $n$ est un entier naturel.
On cherche à déterminer les entiers naturels $n$ tels que $n + 5$ divise $A(n)$.
Saisir la plus grande valeur de l'entier naturel $n$.
Soit $N$ un entier naturel non nul. On note $u$ son chiffre des unités et $d$ son nombre de dizaines, de sorte que l'on a $N = 10d + u$.
Pour établir un test de divisibilité par $37$, on cherche l'unique entier naturel $k$ vérifiant $1 \leqslant k \leqslant 36$ tel que, pour tout entier $N$ :
$N$ est divisible par $37$ si et seulement si $d + ku$ est divisible par $37$.
Saisir la valeur de l'entier $k$.