Exercice : Divisibilité et division euclidienne dans ℤ

Étape 1

Par définition de la division euclidienne de l'entier relatif $a$ par l'entier naturel non nul $b$, il existe un unique couple d'entiers $(q, r)$ tel que : $$a = b \times q + r \quad \text{avec} \quad 0 \le r < b$$

Étape 2

En remplaçant par les valeurs données dans l'énoncé ($a = -149$, $q = -9$ et $r = 4$), on obtient : $$-149 = -9b + 4$$

Étape 3

On isole le terme en $b$ : $$-149 - 4 = -9b$$ ce qui donne $$-153 = -9b$$ d'où : $$b = \frac{-153}{-9} = 17$$

Étape 4

On vérifie la condition sur le reste : $$0 \le 4 < 17$$ La condition est bien respectée, le diviseur cherché est donc $17$.