Étape 1
On exprime la quantité $10(d + ku)$ en faisant apparaître $N$ :
Étape 2
$$10(d + ku) = 10d + 10ku = (10d + u) + (10k - 1)u = N + (10k - 1)u$$
Étape 3
D'où la relation :
Étape 4
$$N = 10(d + ku) - (10k - 1)u$$
Étape 5
Supposons que $10k \equiv 1 \pmod{37}$. Il existe alors un entier relatif $m$ tel que $10k - 1 = 37m$.
Étape 6
L'égalité devient $N = 10(d + ku) - 37mu$.
Étape 7
Si $37$ divise $d + ku$, alors $37$ divise $10(d + ku)$, et comme $37$ divise $37mu$, $37$ divise leur différence $N$.
Étape 8
Réciproquement, si $37$ divise $N$, alors $37$ divise $N + 37mu = 10(d + ku)$. Comme $37$ est un nombre premier qui ne divise pas $10$, on a $\text{PGCD}(10, 37) = 1$. D'après le théorème de Gauss, $37$ divise $d + ku$.
Étape 9
L'équivalence demandée est donc réalisée pour tout entier $N$ si et seulement si :
Étape 10
$$10k \equiv 1 \pmod{37}$$
Étape 11
Pour résoudre cette congruence, on cherche un multiple de $37$ se terminant par $9$ afin que son successeur soit divisible par $10$ :
Étape 12
$$37 \times 7 = 259$$
Étape 13
On en déduit :
Étape 14
$$259 + 1 = 260 = 10 \times 26$$
Étape 15
Par conséquent, $10 \times 26 = 7 \times 37 + 1$, ce qui prouve que $10 \times 26 \equiv 1 \pmod{37}$.
Étape 16
Comme $1 \leqslant 26 \leqslant 36$, l'unique valeur cherchée est $k = 26$.
Méthode clé
Exprimer la combinaison linéaire $10(d + ku) = N + (10k - 1)u$ puis appliquer le théorème de Gauss sachant que $\text{PGCD}(10, p) = 1$.
Piège à éviter
Oublier de vérifier que 10 et 37 sont premiers entre eux pour garantir la réciproque de la divisibilité.
