Exercice : Divisibilité et division euclidienne dans ℤ

Étape 1

D'une part, $10 = 11 \times 0 + 10 = 11 \times 1 - 1$, donc $10 \equiv -1 \pmod{11}$. En utilisant la compatibilité de la congruence avec les puissances, on obtient pour tout entier naturel $k$ : $$10^k \equiv (-1)^k \pmod{11}$$ Ainsi, $10^k \equiv 1 \pmod{11}$ si $k$ est pair, et $10^k \equiv -1 \pmod{11}$ si $k$ est impair.

Étape 2

D'autre part, la décomposition en base $10$ de l'entier $N_a = 38a514$ s'écrit : $$N_a = 3 \times 10^5 + 8 \times 10^4 + a \times 10^3 + 5 \times 10^2 + 1 \times 10^1 + 4 \times 10^0$$ En passant aux congruences modulo $11$, on remplace chaque puissance $10^k$ par $(-1)^k$ : $$N_a \equiv 3(-1)^5 + 8(-1)^4 + a(-1)^3 + 5(-1)^2 + 1(-1)^1 + 4(-1)^0 \pmod{11}$$ Ce qui donne : $$N_a \equiv -3 + 8 - a + 5 - 1 + 4 \pmod{11}$$ $$N_a \equiv 13 - a \pmod{11}$$ Comme $13 = 11 \times 1 + 2$, on a $13 \equiv 2 \pmod{11}$, d'où : $$N_a \equiv 2 - a \pmod{11}$$

Étape 3

L'entier $N_a$ est divisible par $11$ si et seulement si $N_a \equiv 0 \pmod{11}$. Cela équivaut à : $$2 - a \equiv 0 \pmod{11}$$ Ce qui signifie que $a \equiv 2 \pmod{11}$. Comme $a$ est un chiffre du système décimal, on a $a \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. La seule valeur possible est donc $a = 2$.