Étape 1
Par définition, la division euclidienne de l'entier relatif $a$ par l'entier naturel non nul $b$ est l'unique couple d'entiers $(q, r)$ vérifiant : $$a = b \times q + r \quad \text{avec} \quad 0 \le r < b$$
Étape 2
Ici, $a = -47$ et $b = 7$. On cherche l'entier $q$ tel que $7 \times q \le -47$.
Étape 3
Si l'on prend $q = -6$, on a $7 \times (-6) = -42$. Comme $-42 > -47$, le reste serait négatif ($r = -5$), ce qui n'est pas autorisé.
Étape 4
On prend donc $q = -7$, ce qui donne : $$7 \times (-7) = -49$$
Étape 5
On en déduit le reste $r$ : $$r = -47 - (-49) = 2$$
Étape 6
On vérifie que $0 \le 2 < 7$. Le reste de la division euclidienne de $-47$ par $7$ est donc $2$.
Méthode clé
Pour la division euclidienne d'un entier négatif $a$ par $b > 0$, il faut choisir le quotient $q$ tel que $b \times q \le a$, afin d'obtenir un reste positif $r = a - b \times q$ vérifiant $0 \le r < b$.
Piège à éviter
Obtenir un reste négatif en choisissant un quotient trop grand (par exemple prendre $q = -6$, ce qui donnerait $r = -5$, ce qui contredit $r \ge 0$).
