Étape 1
Soit $k$ un entier naturel non nul et $n$ un entier naturel quelconque.
Étape 2
Déterminons une expression simplifiée de $A_n$ modulo $13$. On remarque que :$$2^4 = 16 = 13 \times 1 + 3$$On en déduit que $2^4 \equiv 3 \pmod{13}$. Par compatibilité de la congruence avec les puissances, on a $2^{4n} = (2^4)^n \equiv 3^n \pmod{13}$, d'où :$$2^{4n+1} = 2 \times 2^{4n} \equiv 2 \times 3^n \pmod{13}$$
Étape 3
D'autre part, pour le second terme :$$3^{n+2} = 3^2 \times 3^n = 9 \times 3^n$$Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ :$$A_n = 2^{4n+1} + k \times 3^{n+2} \equiv 2 \times 3^n + 9k \times 3^n \pmod{13}$$Ce qui donne après factorisation :$$A_n \equiv (2 + 9k) \times 3^n \pmod{13}$$
Étape 4
L'entier $A_n$ est divisible par $13$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ si et seulement si $(2 + 9k) \times 3^n \equiv 0 \pmod{13}$ pour tout $n$. Comme $13$ est un nombre premier et ne divise pas $3$, l'entier $3^n$ n'est jamais divisible par $13$. D'après le lemme de Gauss, la condition équivaut à :$$2 + 9k \equiv 0 \pmod{13}$$ce qui se réécrit $9k \equiv -2 \pmod{13}$, ou encore $9k \equiv 11 \pmod{13}$.
Étape 5
Cherchons le plus petit entier $k \in \mathbb{N}^*$ vérifiant cette condition. On teste les entiers de la forme $11 + 13m$ pour $m \in \mathbb{N}$ jusqu'à obtenir un multiple de $9$ :
- Pour $m = 0$ : $11$ n'est pas divisible par $9$.
- Pour $m = 1$ : $11 + 13 = 24$ n'est pas divisible par $9$.
- Pour $m = 2$ : $24 + 13 = 37$ n'est pas divisible par $9$.
- Pour $m = 3$ : $37 + 13 = 50$ n'est pas divisible par $9$.
- Pour $m = 4$ : $50 + 13 = 63$, or $63 = 9 \times 7$.
On a bien $9 \times 7 = 63 = 13 \times 4 + 11 \equiv 11 \pmod{13}$. La plus petite valeur entière strictement positive de $k$ est donc $7$.
Méthode clé
Utiliser les congruences pour réduire les bases des puissances et factoriser par un terme non nul modulo le diviseur.
Piège à éviter
Tenter de résoudre l'équation par un balayage manuel sans simplifier au préalable l'expression algébrique.
