Étape 1
Soit $n$ un entier naturel. On cherche à transformer l'expression $A(n) = 2n^2 + 13n + 39$ pour faire apparaître le facteur $n + 5$.
Étape 2
En effectuant la division algébrique de $A(n)$ par $n + 5$, on obtient :
Étape 3
$$2n^2 + 13n + 39 = 2n(n + 5) + 3(n + 5) + 24$$
Étape 4
Ce qui se factorise sous la forme :
Étape 5
$$A(n) = (n + 5)(2n + 3) + 24$$
Étape 6
Comme $n$ et $2n+3$ sont des entiers, $(n + 5)(2n + 3)$ est un multiple de $n + 5$. Par conséquent, $n + 5$ divise $A(n)$ si et seulement si $n + 5$ divise 24.
Étape 7
L'ensemble des diviseurs positifs de 24 est :
Étape 8
$$\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$$
Étape 9
Puisque $n$ est un entier naturel, $n \ge 0$, ce qui implique que $n + 5 \ge 5$.
Étape 10
Les valeurs possibles pour l'entier $n + 5$ sont donc uniquement les diviseurs de 24 supérieurs ou égaux à 5, c'est-à-dire : 6, 8, 12 et 24.
Étape 11
En soustrayant 5 à chaque valeur, on obtient les valeurs possibles pour $n$ :
Étape 12
- $n = 6 - 5 = 1$
- $n = 8 - 5 = 3$
- $n = 12 - 5 = 7$
- $n = 24 - 5 = 19$
Étape 13
La plus grande valeur de l'entier naturel $n$ recherchée est donc 19.
Méthode clé
Pour étudier la divisibilité d'une expression polynomiale $A(n)$ par $n+a$, on effectue une division algébrique afin d'isoler un reste constant $R$. La divisibilité équivaut alors à la divisibilité de $R$ par $n+a$.
Piège à éviter
Oublier la contrainte $n \ge 0$ (qui impose $n+5 \ge 5$) ou oublier de déterminer la totalité des diviseurs de la constante $R$.
