Sphères et approfondissements
L'essentiel du cours (3 notions)
Intersection sphère-plan et plan tangent
Propriété : Distance $d$ du centre $\Omega$ au plan $\mathcal{P}$ : si $d > R$, intersection vide ; si $d = R$, plan tangent ; si $d < R$, cercle de rayon $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.
Méthode : Plan tangent en $A \in \mathcal{S}$ : $M \in \mathcal{P} \iff \vec{\Omega A} \cdot \vec{AM} = 0$. Le vecteur $\vec{\Omega A}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
Exemple : $\Omega(0,0,0)$, $R=3$, plan $z=2$ ($d=2 < 3$) : l'intersection est le cercle de centre $H(0,0,2)$ et de rayon $r = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5}$.
Sphère circonscrite à un tétraèdre
Définition : La sphère circonscrite à un tétraèdre $ABCD$ est l'unique sphère passant par ses quatre sommets. Son centre $\Omega$ vérifie $\Omega A = \Omega B = \Omega C = \Omega D$.
Méthode : 1. Poser $\Omega(x,y,z)$. 2. Résoudre le système linéaire à 3 équations : $\Omega A^2 = \Omega B^2$, $\Omega A^2 = \Omega C^2$, $\Omega A^2 = \Omega D^2$. 3. Calculer $R = \Omega A$.
Exemple : Sommets $A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$, $C(0,2,0)$, $D(0,0,2)$ : le système $\Omega A^2 = \Omega B^2 = \Omega C^2 = \Omega D^2$ donne $\Omega(1,1,1)$ et $R = \sqrt{3}$.
Fonction scalaire de Leibniz
Définition : Pour des points $(A_i, \alpha_i)$ avec $S = \sum \alpha_i \neq 0$ et de barycentre $G$, la fonction scalaire de Leibniz est $f(M) = \sum \alpha_i MA_i^2$.
Propriété : Théorème de réduction : $f(M) = S \, MG^2 + f(G)$. Si $\frac{k - f(G)}{S} > 0$, l'ensemble des points $M$ tels que $f(M) = k$ est une sphère de centre $G$.
Méthode : 1. Obtenir le barycentre $G$. 2. Réduire $f(M) = S \, MG^2 + f(G)$. 3. Résoudre $MG^2 = \frac{k - f(G)}{S}$ pour conclure sur l'ensemble des points $M$.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(0, 0, 0)$, $B(4, 0, 0)$, $C(0, 4, 0)$ et $D(2, 0, k)$, où $k$ désigne un réel strictement positif.
On note $\mathcal{S}$ la sphère circonscrite au tétraèdre $ABCD$.
Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle le centre de la sphère $\mathcal{S}$ appartient au plan $(ABC)$.
Indiquer la valeur de $k$.
Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace, on considère la sphère $\mathcal{S}$ définie par l'équation :
$$x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 6z - 35 = 0$$On considère la famille de plans $\mathcal{P}_k$ d'équation $3x - 2y + 6z + k = 0$, où $k$ est un nombre réel strictement positif.
Par une justification théorique rigoureuse, déterminer la valeur exacte du réel $k$ pour lequel le plan $\mathcal{P}_k$ est tangent à la sphère $\mathcal{S}$.
Saisir la valeur de $k$.