Étape 1
Pour déterminer les caractéristiques de la sphère $\mathcal{S}$, mettons son équation cartésienne sous forme canonique :
Étape 2
$$x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$$
Étape 3
$$y^2 + 2y = (y+1)^2 - 1$$
Étape 4
$$z^2 - 6z = (z-3)^2 - 9$$
Étape 5
En réinjectant ces expressions dans l'équation de la sphère, on obtient :
Étape 6
$$(x-2)^2 - 4 + (y+1)^2 - 1 + (z-3)^2 - 9 - 35 = 0$$
Étape 7
$$(x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-3)^2 = 49$$
Étape 8
La sphère $\mathcal{S}$ a donc pour centre $\Omega(2\,; -1\,; 3)$ et pour rayon $R = \sqrt{49} = 7$.
Étape 9
Déterminons la distance du centre $\Omega$ au plan $\mathcal{P}_k$. Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_k : 3x - 2y + 6z + k = 0$ est $\vec{n}(3\,; -2\,; 6)$.
Étape 10
Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par $\Omega$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}_k$. Elle admet pour vecteur directeur $\vec{n}$. Une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ est :
Étape 11
$$\begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = -1 - 2t \\ z = 3 + 6t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$
Étape 12
Le projeté orthogonal $H_k$ de $\Omega$ sur $\mathcal{P}_k$ est le point d'intersection de $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}_k$. Injectons les coordonnées de $\mathcal{D}$ dans l'équation de $\mathcal{P}_k$ :
Étape 13
$$3(2 + 3t) - 2(-1 - 2t) + 6(3 + 6t) + k = 0$$
Étape 14
$$6 + 9t + 2 + 4t + 18 + 36t + k = 0$$
Étape 15
$$49t + 26 + k = 0$$
Étape 16
Ce qui donne la valeur du paramètre $t$ correspondant au point $H_k$ :
Étape 17
$$t = -\frac{k+26}{49}$$
Étape 18
La distance entre $\Omega$ et le plan $\mathcal{P}_k$ est égale à la longueur $\Omega H_k$ :
Étape 19
$$\Omega H_k = \sqrt{(3t)^2 + (-2t)^2 + (6t)^2} = \sqrt{49t^2} = 7|t|$$
Étape 20
En remplaçant $t$ par son expression en fonction de $k$ :
Étape 21
$$\Omega H_k = 7 \times \left|-\frac{k+26}{49}\right| = \frac{|k+26|}{7}$$
Étape 22
Le plan $\mathcal{P}_k$ est tangent à la sphère $\mathcal{S}$ si et seulement si la distance $\Omega H_k$ est égale au rayon $R = 7$ :
Étape 23
$$\frac{|k+26|}{7} = 7$$
Étape 24
Ceci équivaut à :
Étape 25
$$|k+26| = 49$$
Étape 26
C'est-à-dire :
Étape 27
$$k + 26 = 49 \quad \text{ou} \quad k + 26 = -49$$
Étape 28
D'où les deux solutions :
Étape 29
$$k = 23 \quad \text{ou} \quad k = -75$$
Étape 30
Le réel $k$ étant strictement positif par hypothèse, la seule valeur retenue est $k = 23$.
Méthode clé
Un plan est tangent à une sphère si et seulement si la distance du centre de la sphère à ce plan est égale au rayon de la sphère.
Piège à éviter
Confondre le carré du rayon $R^2$ et le rayon $R$, ou négliger la condition $k > 0$ lors de la résolution finale.
