Étape 1
Soit $\Omega(x, y, z)$ le centre de la sphère $\mathcal{S}$ circonscrite au tétraèdre $ABCD$. Par définition, $\Omega$ est équidistant des quatre sommets, ce qui se traduit par : $$\Omega A^2 = \Omega B^2 = \Omega C^2 = \Omega D^2$$
Étape 2
On exprime ces distances au carré en fonction des coordonnées de $\Omega$ : $$\Omega A^2 = x^2 + y^2 + z^2$$ $$\Omega B^2 = (x-4)^2 + y^2 + z^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2 + z^2$$ $$\Omega C^2 = x^2 + (y-4)^2 + z^2 = x^2 + y^2 - 8y + 16 + z^2$$ $$\Omega D^2 = (x-2)^2 + y^2 + (z-k)^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 + z^2 - 2kz + k^2$$
Étape 3
L'égalité $\Omega A^2 = \Omega B^2$ équivaut à : $$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2 + z^2$$ d'où $8x = 16$, soit $x = 2$.
Étape 4
De même, l'égalité $\Omega A^2 = \Omega C^2$ équivaut à : $$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 - 8y + 16 + z^2$$ d'où $8y = 16$, soit $y = 2$.
Étape 5
En injectant $x = 2$ et $y = 2$ dans l'égalité $\Omega A^2 = \Omega D^2$, on obtient : $$2^2 + 2^2 + z^2 = (2-2)^2 + 2^2 + (z-k)^2$$ ce qui équivaut à : $$8 + z^2 = 4 + z^2 - 2kz + k^2$$ soit $$2kz = k^2 - 4$$ Comme $k > 0$, la cote du centre $\Omega$ est donnée par : $$z = \frac{k^2 - 4}{2k}$$
Étape 6
Les points $A(0,0,0)$, $B(4,0,0)$ et $C(0,4,0)$ appartiennent au plan $(xOy)$, qui admet pour équation cartésienne $z = 0$. Le plan $(ABC)$ est donc le plan d'équation $z = 0$.
Étape 7
Le point $\Omega$ appartient au plan $(ABC)$ si et seulement si sa cote $z$ est nulle, c'est-à-dire : $$\frac{k^2 - 4}{2k} = 0$$ ce qui équivaut à $k^2 - 4 = 0$, d'où $k^2 = 4$. Comme $k$ est strictement positif, on en déduit $k = 2$.
Méthode clé
Le centre de la sphère circonscrite à un tétraèdre est l'unique point équidistant de ses quatre sommets.
Piège à éviter
Oublier que les points A, B, C sont dans le plan (xOy) d'équation z = 0, ce qui simplifie l'équation du plan (ABC).
