Approfondissements sur les suites
L'essentiel du cours (2 notions)
Suites récurrentes linéaires d'ordre 2
Propriété : Pour $u_{n+2} + p u_{n+1} + q u_n = 0$ d'équation caractéristique $r^2 + pr + q = 0$ : • $\Delta > 0$ : $u_n = \alpha r_1^n + \beta r_2^n$ (avec $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$) • $\Delta = 0$ : $u_n = (\alpha + \beta n) r_0^n$ (avec $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$) • $\Delta < 0$ ($r_{1,2} = \rho \mathrm{e}^{\pm \mathrm{i}\theta}$) : $u_n = \rho^n (\alpha \cos(n\theta) + \beta \sin(n\theta))$
Méthode : Déterminer $\alpha$ et $\beta$ avec $u_0$ et $u_1$ en résolvant un système linéaire $2 \times 2$.
Exemple : $r^2 - 5r + 6 = 0 \implies r \in \{2,3\} \implies u_n = \alpha 2^n + \beta 3^n$.
Méthodes de Newton et Héron
Définition : La méthode de Newton approche une solution de $f(x) = 0$ par $u_{n+1} = u_n - \frac{f(u_n)}{f'(u_n)}$. Pour $f(x) = x^2 - A$, elle donne la méthode de Héron.
Formule : $u_{n+1} = \frac{1}{2} \left( u_n + \frac{A}{u_n} \right)$
Méthode : Choisir $u_0$ proche de la racine. Graphiquement, $u_{n+1}$ est l'abscisse de l'intersection de l'axe des abscisses avec la tangente à la courbe au point d'abscisse $u_n$.
On rappelle le résultat suivant :
Si une suite $(u_n)$ vérifie pour tout entier naturel $n$ la relation $u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$ (où $a$ et $b$ sont des réels fixés) et si l'équation caractéristique $r^2 - ar - b = 0$ admet deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$, alors il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$$u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n$$
Soit $(u_n)$ une suite définie sur $\mathbb{N}$ vérifiant pour tout $n \in \mathbb{N}$ la relation :
$$u_{n+2} = 7u_{n+1} - 10u_n$$
On sait par ailleurs que $u_1 = 30$ et que :
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{5^n} = 4$$
Déterminer la valeur du premier terme $u_0$.
On s'intéresse à la résolution de l'équation $x^3 - 3x = 0$ sur $\mathbb{R}$ au moyen de la méthode d'approximation de Newton.
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = x^3 - 3x$$Pour une valeur initiale $u_0$ choisie telle que chaque terme reste calculable, la suite des approximations successives $(u_n)$ est définie par la relation de récurrence :
$$u_{n+1} = u_n - \frac{f(u_n)}{f'(u_n)}$$L'algorithme peut échouer à converger vers une solution lorsqu'il entre dans un cycle périodique. On cherche une valeur initiale $u_0 > 0$ pour laquelle la suite oscille indéfiniment entre deux valeurs opposées non nulles, vérifiant pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n+1} = -u_n$$Déterminer la valeur exacte de $u_0^2$, sous forme d'une fraction irréductible.