Exercice : Approfondissements sur les suites

Étape 1

L'équation caractéristique associée à la relation de récurrence $u_{n+2} = 7u_{n+1} - 10u_n$ est : $$r^2 - 7r + 10 = 0$$ Le discriminant de cette équation vaut $\Delta = (-7)^2 - 4 \times 1 \times 10 = 49 - 40 = 9 = 3^2$. L'équation admet donc deux racines réelles distinctes : $$r_1 = \frac{7 - 3}{2} = 2 \quad \text{et} \quad r_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5$$

Étape 2

D'après la propriété rappelée, il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que pour tout entier naturel $n$ : $$u_n = \lambda \times 2^n + \mu \times 5^n$$

Étape 3

Pour tout entier naturel $n$, on en déduit : $$\frac{u_n}{5^n} = \frac{\lambda \times 2^n + \mu \times 5^n}{5^n} = \lambda \left(\frac{2}{5}\right)^n + \mu$$ Comme $-1 < \frac{2}{5} < 1$, on a $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^n = 0$, d'où : $$\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{5^n} = \mu$$ Or, l'énoncé indique que cette limite vaut $4$, on en déduit donc que $\mu = 4$.

Étape 4

Le terme général de la suite s'écrit donc $u_n = \lambda \times 2^n + 4 \times 5^n$. En utilisant la condition $u_1 = 30$, on obtient : $$u_1 = 2\lambda + 4 \times 5 = 2\lambda + 20 = 30$$ ce qui donne $2\lambda = 10$, soit $\lambda = 5$.

Étape 5

On peut maintenant calculer le premier terme $u_0$ : $$u_0 = \lambda \times 2^0 + \mu \times 5^0 = \lambda + \mu = 5 + 4 = 9$$