Exercice : Approfondissements sur les suites

Étape 1

Pour tout réel $x$, la fonction $f$ est dérivable et sa dérivée est donnée par :

Étape 2

$$f'(x) = 3x^2 - 3$$

Étape 3

Pour tout réel $x$ tel que $x^2 \neq 1$, l'expression de l'itéré de Newton s'écrit :

Étape 4

$$x - \frac{f(x)}{f'(x)} = x - \frac{x^3 - 3x}{3x^2 - 3} = \frac{x(3x^2 - 3) - (x^3 - 3x)}{3x^2 - 3}$$

Étape 5

En développant et en réduisant le numérateur, on obtient :

Étape 6

$$\frac{3x^3 - 3x - x^3 + 3x}{3x^2 - 3} = \frac{2x^3}{3x^2 - 3}$$

Étape 7

La relation de récurrence de la suite s'écrit donc, tant que $u_n^2 \neq 1$ :

Étape 8

$$u_{n+1} = \frac{2u_n^3}{3u_n^2 - 3}$$

Étape 9

La condition d'oscillation à deux points impose en particulier pour le premier terme :

Étape 10

$$u_1 = -u_0$$

Étape 11

ce qui équivaut à :

Étape 12

$$\frac{2u_0^3}{3u_0^2 - 3} = -u_0$$

Étape 13

Comme $u_0 > 0$, on peut diviser chaque membre par $u_0$ :

Étape 14

$$\frac{2u_0^2}{3u_0^2 - 3} = -1$$

Étape 15

En multipliant par le dénominateur $3u_0^2 - 3$, on obtient :

Étape 16

$$2u_0^2 = -(3u_0^2 - 3)$$

Étape 17

soit :

Étape 18

$$2u_0^2 = -3u_0^2 + 3$$

Étape 19

ce qui donne :

Étape 20

$$5u_0^2 = 3$$

Étape 21

D'où :

Étape 22

$$u_0^2 = \frac{3}{5}$$

Étape 23

On vérifie que pour $u_0^2 = \frac{3}{5}$, on a $f'(u_0) = 3\left(\frac{3}{5}\right) - 3 = -\frac{6}{5} \neq 0$. Les termes de la suite sont donc tous bien définis et alternent indéfiniment entre $u_0$ et $-u_0$, ce qui empêche la suite de converger vers un zéro de $f$.